动态规划之线性DP-安全序列

问题描述

小蓝是工厂里的安全工程师，他负责安放工厂里的危险品。

工厂是一条直线，直线上有 n 个空位，小蓝需要将若干个油桶放置在 n 个空位上，每 2 个油桶中间至少需要 k 个空位隔开，现在小蓝想知道有多少种放置油桶的方案，你可以编写一个程序帮助他吗？

由于这个结果很大，你的输出结果需要对  取模。

输入格式

第一行包含两个正整数n，k，分别表示 n 个空位与 k 个隔开的空位。

输出格式

输出共 1行，包含 1 个整数，表示放置的方案数对  取模。

样例输入

4 2

样例输出

6

说明

用 0代表不放，1 代表放，6 种情况分别为：

0000，1000，0100，0010，0001，1001。

评测数据规模

对于所有评测数据，

思路：

当放一个油桶时，每一个空位都有一个可能

当放两个油桶时，则前 k 个空位不能放油桶，最多在第 i-k-1 个位置才能放油桶，方案数等于 dp[i-k-1]。

解题代码：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=1e6+10,p=1e9+7;

ll dp[N],prefix[N];
int main()
{
  int n,k;cin>>n>>k;
  dp[0]=prefix[0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    if(i-k-1<1)dp[i]=1;
    else dp[i]=prefix[i-k-1];
    prefix[i]=(prefix[i-1]+dp[i])%p;
  }
  cout<<prefix[n]<<'\n';
  return 0;
}

1、动态规划定义

• dp[i]：表示前 i 个空位的放置方案数。

• prefix[i]：表示前 i 个空位的前缀和，即 prefix[i] = dp[0] + dp[1] + ... + dp[i]。

 2、动态规划转移方程

• 对于第 i 个空位：

  • 如果选择不放油桶，则方案数等于 dp[i-1]。

  • 如果选择放油桶，则前 k 个空位不能放油桶，方案数等于 dp[i-k-1]。

• 因此，动态规划转移方程为：

  dp[i] = dp[i-1] + dp[i-k-1]

  其中：

  • dp[i-1]：不放油桶的方案数。

  • dp[i-k-1]：放油桶的方案数。

3、前缀和的作用

• 前缀和 prefix[i] 用于快速计算 dp[i]。

• 由于 dp[i] 依赖于 dp[i-1] 和 dp[i-k-1]，而 dp[i-1] 可以通过 prefix[i-1] - prefix[i-2] 计算，dp[i-k-1] 可以直接通过 prefix[i-k-1] 计算。

• 使用前缀和可以将动态规划的转移优化为 O(1) 的时间复杂度。

4、示例分析

假设输入：

n = 4, k = 2

(1) 初始化

• dp[0] = prefix[0] = 1。

(2) 动态规划转移

• i = 1：

  • i - k - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 < 1，所以 dp[1] = 1。

  • prefix[1] = (prefix[0] + dp[1]) % p = (1 + 1) % p = 2。

• i = 2：

  • i - k - 1 = 2 - 2 - 1 = -1 < 1，所以 dp[2] = 1。

  • prefix[2] = (prefix[1] + dp[2]) % p = (2 + 1) % p = 3。

• i = 3：

  • i - k - 1 = 3 - 2 - 1 = 0 < 1，所以 dp[3] = 1。

  • prefix[3] = (prefix[2] + dp[3]) % p = (3 + 1) % p = 4。

• i = 4：

  • i - k - 1 = 4 - 2 - 1 = 1 >= 1，所以 dp[4] = prefix[1] = 2。

  • prefix[4] = (prefix[3] + dp[4]) % p = (4 + 2) % p = 6。

(3) 结果

• prefix[4] = 6，表示有 6 种放置方案。

5、为什么返回 prefix[n]？

• prefix[n] 表示前 n 个空位的总方案数。

• 因为 dp[i] 只表示前 i 个空位的方案数，而 prefix[i] 是 dp[0] 到 dp[i] 的累加和。

• 最终答案需要包括所有可能的方案数，因此返回 prefix[n]。

6、动态规划的过程总结

1. 定义状态：dp[i] 表示前 i 个空位的放置方案数。

2. 转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-k-1]。

3. 前缀和优化：使用 prefix[i] 快速计算 dp[i]。

4. 初始化：dp[0] = prefix[0] = 1。

5. 结果：返回 prefix[n]，表示前 n 个空位的总方案数。