题解：P1496 火烧赤壁(区间合并算法)

火烧赤壁题解

题目传送门：P1496 火烧赤壁

一、题目描述

给定n个着火区间，每个区间表示为[a,b)（左闭右开），要求计算所有着火区间覆盖的总长度（合并重叠或相邻的区间）。

二、题目分析

我们需要处理多个区间，合并其中重叠或相邻的部分，然后计算合并后各区间的长度之和。关键在于如何高效地合并这些区间。

三、解题思路 + 算法介绍

1. 区间合并算法：
   • 首先将所有区间按照左端点排序
   • 然后遍历排序后的区间，维护当前合并区间的起始点(st)和结束点(ed)
   • 如果当前区间的左端点大于维护区间的右端点，说明不重叠，将维护区间加入结果
   • 否则，更新维护区间的右端点为两者中的较大值
2. 计算总长度：
   • 合并完成后，遍历所有合并后的区间，累加每个区间的长度(b-a)

四、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
int n;
vector<PII> sect;

// 合并重叠或相邻的区间
void merge(vector<PII> &sect)
{
    vector<PII> res;
    int st = -1e10, ed = -1e10; // 初始化为极小值
    sort(sect.begin(), sect.end()); // 按左端点排序
    
    for (auto seg : sect)
    {
        if (ed < seg.first) // 当前区间与维护区间无重叠
        {
            if (st != -1e10) // 不是初始状态，将维护区间加入结果
            {
                res.push_back({st, ed});
            }
            st = seg.first, ed = seg.second; // 开始维护新区间
        }
        else // 有重叠，合并区间
            ed = max(ed, seg.second);
    }
    
    // 加入最后一个维护的区间
    if (st != -1e10)
    {
        res.push_back({st, ed});
    }
    sect = res;
}

signed main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        sect.push_back({a, b}); // 存储所有区间
    }
    merge(sect); // 合并区间
    
    int res = 0;
    for (auto seg : sect) // 计算总长度
    {
        res += seg.second - seg.first;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

五、重点细节

1. 区间表示：题目中的区间是左闭右开[a,b)，所以长度直接计算为b-a
2. 初始化值：合并算法中初始st和ed设为极小值(-1e10)，用于判断是否是第一个区间
3. 排序处理：必须先对所有区间按左端点排序，才能正确合并
4. 边界处理：最后一个合并后的区间需要在循环结束后单独加入结果集

六、复杂度分析

1. 时间复杂度：
   • 排序操作：O(n log n)
   • 合并操作：O(n)
   • 总复杂度：O(n log n)（排序占主导）
2. 空间复杂度：
   • 存储区间：O(n)
   • 合并结果：最坏情况O(n)（无任何区间可合并时）

七、总结

本题考察了区间合并这一经典算法，关键在于：

1. 理解如何判断和处理区间重叠
2. 掌握排序预处理的重要性
3. 注意边界条件的处理（如最后一个区间）
4. 理解左闭右开区间的长度计算方式

该解法高效且清晰，能够正确处理题目中的所有情况。