高精度乘法：高精度 * 高精度

P1303 A*B Problem 题解

题目传送门：P1303 A*B Problem

一、题目描述

给定两个非负整数（可能非常大，长度不超过2000位），要求计算它们的乘积并输出结果。

二、题目分析

这道题是一个典型的高精度乘法问题。由于输入的数字可能非常大（达到10^2000），远远超过任何基本数据类型的表示范围，因此不能直接用常规的乘法运算，需要实现高精度算法来逐位计算。

三、解题思路 + 算法讲解

解题思路采用模拟手工乘法的方法：

1. 数字存储：将输入的大数字符串逆序存储到数组中（个位在前），方便从低位开始计算
2. 逐位相乘：使用双重循环，将第一个数的每一位与第二个数的每一位相乘
3. 处理进位：将每一位的乘积累加到结果数组的对应位置，然后统一处理进位
4. 去除前导零：确保结果的最前面没有多余的零
5. 输出结果：将结果数组逆序输出（高位在前）
6. 图片描述
   

这种方法模拟了我们在纸上做乘法时的竖式计算过程，但通过数组存储和循环处理，可以应对任意长度的数字。

四、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
// 定义两个字符串 a 和 b，用于存储输入的两个大整数
string a, b;
// 定义两个向量 A 和 B，用于将输入的字符串按位存储为整数，方便后续计算
vector<int> A, B;

// 定义一个函数 mul，用于实现两个大整数的乘法，参数为两个整数向量的引用
vector<int> mul(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    // 初始化结果向量 C，其大小设置为 A 的大小加上 B 的大小再加上 10，确保有足够的空间存储结果
    // 初始值都设为 0
    vector<int> C(A.size() + B.size() + 10, 0); 
    // 双重循环遍历 A 和 B 的每一位
    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
        for (int j = 0; j < B.size(); j++)
        {
            // 将 A 的第 i 位和 B 的第 j 位相乘，结果累加到 C 的第 i + j 位上
            // 这里使用 += 是因为可能会有多次累加
            C[i + j] += A[i] * B[j];  
        }

    // 用于处理进位的变量
    int t = 0;
    // 遍历结果向量 C 的每一位
    for (int i = 0; i < C.size(); i++)
    {
        // 将当前位的值加上进位 t
        t += C[i];
        // 当前位只保留个位数字
        C[i] = t % 10;
        // 计算进位，将 t 除以 10
        t /= 10;
    }

    // 去除结果向量 C 末尾的前导 0，但要保证结果至少有一位
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
        C.pop_back();
    // 返回处理后的结果向量 C
    return C;
}

int main()
{
    // 从标准输入读取两个大整数，存储到字符串 a 和 b 中
    cin >> a >> b;
    // 将字符串 a 按位倒序存储到向量 A 中，方便从低位开始计算
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)  
    {
        // 将字符转换为对应的整数并添加到向量 A 中
        A.push_back(a[i] - '0');
    }
    // 将字符串 b 按位倒序存储到向量 B 中，方便从低位开始计算
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        // 将字符转换为对应的整数并添加到向量 B 中
        B.push_back(b[i] - '0');
    }
    // 调用 mul 函数计算 A 和 B 的乘积，结果存储在向量 C 中
    auto C = mul(A, B);
    // 从高位到低位输出结果向量 C 的每一位
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)
        printf("%d", C[i]);
    return 0;
}

五、重点细节

1. 逆序存储：将输入的数字字符串逆序存储，这样个位在数组开头，方便从低位开始计算
2. 结果数组初始化：结果数组大小设置为A.size()+B.size()+10，确保有足够空间存储所有可能的位数
3. 进位处理：在逐位相乘后，需要统一处理进位，而不是每次相乘都处理，这样更高效
4. 前导零处理：最后需要去除结果中可能存在的多余前导零，但要保留至少一位（即使是0）
5. 输出顺序：由于存储是逆序的，输出时需要从后往前输出

六、复杂度分析

• 时间复杂度：O(n*m)，其中n和m分别是两个输入数字的长度。因为有两重循环分别遍历两个数字的每一位
• 空间复杂度：O(n+m)，用于存储输入数字和结果

七、总结

这道高精度乘法题目考察了对大数处理的能力，通过模拟手工乘法的方式，我们可以有效地解决这个问题。关键在于：

1. 合理地存储大数（逆序存储方便计算）
2. 正确处理每一位的乘积和进位
3. 注意边界情况（如乘数为0的情况）

掌握这种高精度计算方法对于处理大数运算问题非常重要，是算法竞赛中的基础技能之一。