统计子矩阵（前缀和+双指针）

距离蓝桥杯的时间所剩无几，因此小编在此针对往年蓝桥杯进行了几个复习：

题目链接：AcWing 4405. 统计子矩阵（蓝桥杯辅导课） - AcWing

这是关于前缀和和双指针的经典题型。

给定一个 N×MN×M 的矩阵 AA，请你统计有多少个子矩阵 (最小 1×11×1，最大 N×MN×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 KK?

输入格式

第一行包含三个整数 N,MN,M 和 KK。

之后 NN 行每行包含 MM 个整数，代表矩阵 AA。

输出格式

一个整数代表答案。

数据范围

对于 30%30% 的数据，N,M≤20N,M≤20，
对于 70%70% 的数据，N,M≤100N,M≤100，
对于 100%100% 的数据，1≤N,M≤500;0≤Aij≤1000;1≤K≤2.5×1081≤N,M≤500;0≤Aij≤1000;1≤K≤2.5×108。

输入样例：

3 4 10
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

输出样例：

19

样例解释

满足条件的子矩阵一共有 1919，包含：

• 大小为 1×11×1 的有 1010 个。
• 大小为 1×21×2 的有 33 个。
• 大小为 1×31×3 的有 22 个。
• 大小为 1×41×4 的有 11 个。
• 大小为 2×12×1 的有 33 个。

  #include<iostream>
  using namespace std;
  
  typedef long long ll;
  const int N = 5e2 + 3;
  int n, m, k;
  int a[N][N];
  
  
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(false);
      cin >> n >> m >> k;
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
          for (int j = 1; j <= m; j++) {
              cin >> a[i][j];
              a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
          }
      }
  
      ll ans = 0;
      for (int i = 1; i <= m; i++) {
          for (int j = i; j <= m; j++) {
              for (int s = 1, t = 1; t <= n; t++) {
                  while (s <= t && a[t][j] - a[s - 1][j] - a[t][i - 1] + a[s - 1][i - 1] > k) s++;
                  if (s <= t) ans += t - s + 1;
              }
          }
      }
  
      cout << ans << '\n';
  }

  首先解释一下前缀和部分，输入a[i][j]后直接加上a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]表示把a[i][j]之前的二维矩阵加上。

再使用双指针的知识，为什么要用双指针？如果不用很容易想到的就是暴力枚举也就是四个for循环，这时需要的就是O(n*4)会超时。而使用双指针就可以将复杂度降到O（n*3）。

那么怎么使用双指针呢？也就是设计一个快指针t和一个慢指针s来遍历行，而i和j则用来遍历列

 for (int i = 1; i <= m; i++) {
     for (int j = i; j <= m; j++) {
         for (int s = 1, t = 1; t <= n; t++) {
             while (s <= t && a[t][j] - a[s - 1][j] - a[t][i - 1] + a[s - 1][i - 1] > k) s++;
             if (s <= t) ans += t - s + 1;
         }
     }
 }

当i，j，s，t的矩阵中的值大于k时就要s++，来满足题目的条件。如果满足条件且s<=t

ans+=t-s+1；这里的ans表示当i，j锁定时，s不变只有t在变的情况，所以只要加上t-s+1就可以遍历。

-sako