青蛙的约会-优快云博客

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青蛙的约会

题目链接：P1516 青蛙的约会 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 A 和青蛙 B，并且规定纬度线上东经 00 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 11 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙 A 的出发点坐标是 xx，青蛙 B 的出发点坐标是 yy。青蛙 A 一次能跳 mm 米，青蛙 B 一次能跳 nn 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长 LL 米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入格式

输入只包括一行五个整数 x,y,m,n,Lx,y,m,n,L。

输出格式

输出碰面所需要的次数，如果永远不可能碰面则输出一行一个字符串 Impossible。

解题思路：

分析题目：

这道题讲述两个青蛙在一个类似圆环的地方沿一个方向走。我们可以设定的是圆环的L，两只青蛙分别的位置x，y，以及跳一次的m，n。

解题思路：

因为两个青蛙想要相遇，我们可以得到的是两者的距离（x-y），以及他们的坐标（x和y），不难得出：

（x+mt）% L=(y+nt)% L；

由此式子可以推出：

（（x-y）+(m-n)t)%=L;

这个式子可以改为：

（x-y）/L+(m-n)/L=一个整数；

因此我们可以设一个a和b，并做出下面的方程

a(m-n)+bL=x-y;

这个方程中，如果把m-n换成x，L换成y，x-y换成c，则很容易得到扩展欧几里得的方程： ax+by=g(a,b);

g(a,b)表示a和b的最大公约数（关于扩展欧几里得不懂的大家可以自行了解后，能对本博客有更深的理解）；

我们带入原理后可以得到

gcd（b,a%b） = bx1 + (a%b)*y1

gcd（b,a%b） =b*x1+(a-(a/b)*b)*y1

gcd(b,a%b) = a*y1 + b*(x1-(a/b)*y1)

我们通过上述演算就可以得知

当b不等于0时，gcd（a，b） = gcd（b，a%b）；

所以 x= y1 ; y = x1 - (a/b) *y1 ;

当b等于0时，ax=a;得到x=1，y=0；

现在我们可以求x和y的特解

如果（x-y）%g（m-n，L）！=0，则x-y不是g（）的倍数，则无解；

如果等于0，说明有特解

那么存在x0=x1*（x-y）/g（m-n，L）；y0=y1*（x-y）/g（m-n，L）；

关于最小整数解的求法(ax+by=c)

X=(x%t+t)%t;t=b/gcd(a,b);

对于本题则是y * ((X - Y) / g) % (L / g) + (L / g)) % (L / g)

因为a，b可能为负数所以可转化为a*(-x)+b*(-y)=c

代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

void exgcd(long long a, long long b, long long & x, long long & y)

{

    if (!b) { x = 1; y = 0; return; }

    exgcd(b, a % b, y, x);

    y -= a / b * x;

}



long long  gcd(long long a, long long b) {

    return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);

}



long long X, Y, M, N, L, g, x, y;



int main()

{

    cin >> X >> Y >> M >> N >> L;

    if (N < M) swap(X, Y), swap(M, N);

    g = gcd(L, N - M);

    exgcd(L, N - M, x, y);

    if ((X - Y) % g != 0) cout << "Impossible" << endl;

    else {

        cout << (y * ((X - Y) / g) % (L / g) + (L / g)) % (L / g) << endl;

    }

    return 0;

}