唯一分解定理

前言

先讲唯一分解定理是个啥，然后用一个经典例题来巩固一下就O~er了。

一、理论

• 定义：
  任意一个正整数n（n>1），一定存在一个全为质数的集合（这个集合中所有元素 $xi\le n$） {P₁^e1，P₂^e2，P₃^e3……，P_k^ek} (P_i>1，ei>=1，i>=1)，这个集合所有元素相乘，结果就等于n。

• 示例1——30的唯一分解：
  因为：30=2x3x5.
  所以30的唯一分解后得到一个质数集合：{2，3，5}.

• 示例2——84的唯一分解：
  因为：84= $2^2$x3x7
  所以84通过唯一分解得到的质数集合：{2，3，7}.

• 补充： 以上的质数集合必定是唯一的！ 如果你发现了不止一个满足上述条件的集合，您过来打我，我发地址给您。🫡🫡🫡

二、经典例题

1、题目描述

蓝桥云课连接

2、算法原理&AC代码

什么是质因子？

这个因子是质数，那么就是质因子。
那么什么是因子 呢？很简单，如果一个整数x，可以整除原来的数n（n/x==整数），那么x就是n的因子。

题目要求给定一个数N ，（$1\le N\le 10^{12}$），求对应的所有质因数。这不就是求一个数，通过唯一分解定理得到的所有质数的集合吗？也就是说，N=30，那么答案就是{2，3，5}；N=84 ，那么答案就是{2，3，7}。

所以思路就清晰了，我们直接在区间[2,N]遍历所有的质数，判断这个质数是否是唯一分解定理里面的集合，是就打印，不是就往右边遍历，直到为N。

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int N=scan.nextInt();

        for(int i=2;i<N+1;i++){
        }
    }
}

那么如何i是否属于N的质数集合呢？
接下来的文字都很重要，必须认真看了哈。
请看这个式子：

i₁^e1 x i₂^e2 x i₃^e3 x …… x i_k^ek = N （$e\ge 1$）

我们需要的答案实际上就是等式左边所有指数的底数： i₁、i₂、i₃、……i_k .
这些底数i，有一个共同的特点，就是它们都是整数，所以N除以任意一个i，其结果也是一个整数。
所以判断当前枚举的i是否是答案，直接N%i==0即可，等于零是整数，说明这个i就是质因子。我们这种操作实际上就有点想拿着答案去反推过程：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        long N=scan.nextLong();
        for(Long i=2;i<N+1;i++){
            //获取可能的质数
            if(N%i==0){
                System.out.println(i+" ");
            }
        }
    }
}

代码这样些就完成了吗？
其实没有，每当我们遍历到一个需要打印的i后，需要更新N的大小：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        long N=scan.nextLong();

        for(long i=2;i<N+1;i++){

            //获取可能的质数
            if(N%i==0){
                System.out.println(i+" ");
            }
            
            //更新N，保证后续遍历的正确性
            while(N%i==0){
                N/=i;
            }
        }
    }
}

这样做的目的是确保我们之前的式子是一致成立的：
i₁^e1 x i₂^e2 x i₃^e3 x …… x i_k^ek = N
假如 i₁ 已经遍历到并且打印了，并且e1=2，那么通过while循环式子就会变成：
i₂^e2 x i₃^e3 x …… x i_k^ek = N / i₁^e1
这充分利用了唯一分解定理，来准确获取质因子。

最后如果问题规模不大，那么问题也就解决了，但是测试用例中出现了时间超限：
所以我们需要对上面这个代码做一下优化：
原来代码的时间复杂度实际上我们只需要改造for循环 ，我们可以把循环数量降低一点（最终的AC代码）：

import java.util.Scanner;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        long N=scan.nextLong();

        //变成平方根
        for(long i=2;i<=Math.sqrt(N);i++){
            if(N%i==0)System.out.print(i+" ");
            while(N%i==0){
                N/=i;
            }
        }
		
		//判断是否会遗漏大于N的平方根的质因子，遗漏补上
          if(N>1)System.out.print(N);
    }
}

可以这样操作的原因是因数永远是成对出现的：(如果您找到不成对出现的因子，您来打我，我把地址发给您。🫡🫡🫡)

• 36的因数：
  {2，18} {4，9} {6，6}

• 27的因数：
  {3，9}

• 9的因数：
  {3，3}

• ……

还记得刚才的代码吗？

 if(N%i==0)System.out.print(i+" ");
            while(N%i==0){
                N/=i;
            }

我们在从左到右枚举每一个可能的数字，当枚举到一个可能的质数，这个质数一定对应着另一个因子。比如对于36，枚举到二的时候，那么一定对应另一个因子18（因为2x18=36），当我们打印这个因子后，我们会进入while循环，每取一次模，对应的因子就会-1，直到右侧因子每%完。因此我们只需要从2枚举到$\sqrt{36}=6$即可。

这些成对的因子有这种特性：要么一个小于$\sqrt{N}$，一个大于$\sqrt{N}$；要么两个因子都等于$\sqrt{N}$；但绝不可能一对因子，全部大于$\sqrt{N}$。
所以i，只用枚举到$\sqrt{N}$即可，为了避免遗漏掉大于$\sqrt{N}$的因子（i没有遍历到），我们再最后增添一个if条件句即可。

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这种题目说实话，对与咱们没有数学天分的人来说，我觉得还是很有难度的。因为它几乎考的就是数学思维。因此如果一遍没看懂，不用气馁，回头可以再仔细看一下。欢迎留言提问~~