欧拉筛详解（代码，证明过程以及时间复杂度分析）

1.欧拉筛的作用

欧拉筛：可以在线性的时间复杂度内，从1~n之间的素数的集合，并且在操作过程中可以记录素数数组，为以后判断是否是素数而加快效率

和大部分的筛法一样，通过将质数的倍数标记为合数来不断筛选质数的一种方法，欧拉筛的大致思路也是这样，不够欧拉筛能实现O(n）时间复杂度的必然有他的过人之处

2.欧拉筛的代码

int pri[200005];//素数集合 
int vis[200005];//判断是否是素数
int cnt=0;//统计素数数量 
void ini()
{
	vis[1]=1;
	for(int i=2;i<=200000;i++)
	{
		if(vis[i]==0)
		{
			cnt++;
			pri[cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=200000;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
			break;
		}
	} 
}

思路：我们在去筛选的时候，所有位置上的标记都为0，表示所有数都为质数，但是我们知道1，不是质数，所以要给1特判，然后从2到n，如果是0，就加入到素数数组pri里面，然后就是用当前i去寻找质数倍，然后不断将这些倍数标为合数，如果i%pri[j]==0，那就直接结束循环就可以，这是保证算法为线性的关键

3.正确性的验证

我们可以假设一下，a=p*b;

p表示a的最小质因数

我们同理可以知道b小于a，那么b一定在a之前做出了判断，我们在之前就应删掉b的所有倍数，因为p为a的最小质因数，那么b的最小质因数也一定大于等于p（为什么呢？假如我们的b的最小质因数为q，并且q<p,因为a为b的倍数，a也应为q的倍数，所以q才是a的最小质因数，与条件违背，所以不符）

这样就保证了，在a被删掉之前，b一定不会结束删除他的合数，及时b的最小质因数也为p，也同样能够将a删除

4.时间复杂度的证明 

我们此时需要验证一下如何判断a只会删除一次

我们可以假设a=p*b;p为最小质因数

假设p为b的最小质因数，我们由上述3可知，a一定会被b删掉一次，那么是否还能被另一个数c删除一次呢

我们继续假设a=q*c

假设c<b,那么q>p,这就说明p为c的最小质因数（为什么呢？因为a=q*c=p*b,因为p，q都为质数，那么只有c能整除p，那么按理来说在质数轮到p的时候就结束了，根本轮不到q），因此c不可能小于b 

假设c>b.那么q<p,不满足题目中的条件，p为最小质因数

因此a最多只能删除1次，每个数只处理一次，时间复杂度为O（n）得证