数字三角形模型

一、数字三角形（裸题）

题目链接

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
int a[N][N];
int dp[N][N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    for(int j = 1;j <= i;j ++)
    cin >> a[i][j];
    
    //从最后开始到初始状态，这样不需要考虑细节问题
    for(int i = n;i >= 1;i --)
    for(int j = i;j >= 1;j --)
    {
        if(i == n) dp[n][j] = a[n][j];
        else
        {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j] + a[i][j], dp[i + 1][j + 1] + a[i][j]);
        }
    }
    cout << dp[1][1];
    return 0;
}

二、摘花生（场景题）

题目链接

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int t;
int a[N][N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> t;
    while(t --)
    {
        
        int r,c;
        cin >> r >> c;
        for(int i = 1;i <= r;i ++)
        for(int j = 1;j <= c;j ++)
        cin >> a[i][j];
        
        dp[1][1] = a[1][1];
        for(int i = 1;i <= r;i ++)
        for(int j = 1;j <= c;j ++)
        {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] + a[i][j], dp[i][j - 1] + a[i][j]);
        }
        cout << dp[r][c] << endl;
    }
    
}

三、最低通行费用（场景题）

题目链接

这个题有一个隐含条件商人必须在2n - 1的时间内出去，证明商人只能向下或者向右走，不能往回走，往回走就无法走到终点

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int a[N][N];
int dp[N][N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) 
    for(int j = 1;j <= n;j ++)
    cin >> a[i][j];
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    for(int j = 1;j <= n;j ++)
    {
    	//特殊处理如果是第一行的话只能从左边过来，第一列的话只能从上面下来
        if(i == 1 && j == 1) dp[i][j] = a[1][1];
        else if(i == 1) dp[i][j] = dp[i][j - 1] + a[i][j];
        else if(j == 1) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + a[i][j];
        else
        dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + a[i][j],dp[i][j - 1] + a[i][j]);
    }
    cout << dp[n][n];
    return 0;
}

四、方格取数（场景题）

这里有一个问题，两个人为什么要同时走，而不是分开走？
如果分开走的话，每次都是贪心思维，这样可能会走漏掉某些地方，第一次的最优解 + 第二次的最优解 ！= 两次同时走的全局最优解（同时你两次一起走的话，可以保证只在你走到位置状态为i，j的时候才可能会出现重复（就算前面走重复的格子，当时这个格子只加了一次，代码中有体现，也就是t只会加一次））
全局最优解的例子

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 15;
int w[N][N];
int n;
int f[N*2][N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    int a, b, c;
    while(cin >> a >> b >> c, a || b || c)
    {
        w[a][b] = c;
    }
    
    // i1 + j1 == i2 + j2 == k就不成立
    for(int k = 2;k <= n + n;k ++)
    for(int i1 = 1;i1 <= n;i1 ++)
    for(int i2 = 1;i2 <= n;i2 ++)
    {
        int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
        if(j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n)
        {
            int t = w[i1][j1];
            if(i1 != i2) t += w[i2][j2];//这里i1!=i2也证明走的不是同一个点
            //四种状态
            int &x = f[k][i1][i2];
            //右右
            x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
            //下下
            x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
            //右下
            x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
            //下右
            x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
        }
    }
    printf("%d\n", f[n + n][n][n]);
    return 0;
}

五、传纸条（场景题）

和上面一个题几乎一模一样

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 52;
int f[N*2][N][N];
int w[N][N];
int n,m;

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1;i <= m;i ++)
        for(int j = 1;j <= n;j ++)
        cin >> w[i][j];
        
    for(int k = 2;k <= n + m;k ++)
        for(int i1 = 1;i1 <= m;i1 ++)
            for(int i2 = 1;i2 <= m;i2 ++)
            {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                if(j1 >= 1 && j2 >= 1 && j1 <= n && j2 <= n)
                {
                    int t = w[i1][j1];
                    if(i1 != i2) t += w[i2][j2];
                                //四种状态
                    int &x = f[k][i1][i2];
                    //右右
                    x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
                    //下下
                    x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
                    //右下
                    x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
                    //下右
                    x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
                }
            }
    cout << f[m + n][m][m];
    return 0;
}