2023 csp—j 赛后反思

T1 小苹果

【题目描述】

        小Y的桌子上放着n个苹果从左到右排成一列，编号为从1到n。

        小苞是小Y的好朋友，每天她都会从中拿走一些苹果。 每天在拿的时候，小苞都是从左侧第1个苹果开始、每隔2个苹果拿走1个苹果。 随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。

        小苞想知道，多少天能拿完所有的苹果，而编号为n的苹果是在第几天被拿走的?

【输出格式】

        输出的第一行包含一个正整数n，表示苹果的总数。

【输出格式】

        输出一行包含两个正整数，两个整数之间由一个空格隔开，分别表示小苞拿走所有
苹果所需的天数以及拿走编号为n的苹果是在第几天。

题目分析

        因为题目要求苹果数量有 10^9 个，所以模拟法效率会很低，我们不能建立一个大数组或者链表，去模拟题目中的顺序一个一个取苹果。也不能使用递归，栈可能会爆掉。 

1. 拿走苹果的总天数

我们先分析多少天可以拿走所有苹果

分析题目的关键点，观察苹果是如何取的：每隔两个取走一个

这句话提醒我们，如果每3个苹果分成一组，那么就是每组的第一个苹果会被拿走。

So，任何一个数都可以表示为被3 整除的部分，和余数部分，也就是：

n = 3 * p + r

其中, 3*p 是可以被三整除的部分，r 是余数部分，0 <= r <3

因此，取苹果的过程可以看作，从 p 个分组中，每次取一个，从余数部分中（如果有的话），每次取一个。

因此每次取苹果的个数为：

if (r > 0) 
{
    n -= p + 1; // 每个组拿一个，余数组拿一个
} 
else 
{
    n -= p; // 每个组拿一个，没有余数组
}

需要注意的是，如果只有余数组了，每次只能拿一个苹果：

if (p > 0) 
{
    // 正常从所有组拿苹果
    ......
} 
else 
{
    // 仅从余数组拿苹果，每次只能拿一个
    n -= 1;
}

所以，完整的程序如下，使用 while 循环持续拿苹果，并记录天数即可：

#include <bits/stdc++.h>
typedef int intt;
#define int long long
using namespace std;

intt main() 
{
    int n = 0;
    cin >> n;

    int days = 0;

    // n = 3p + r;
    while (n > 0 ) 
	{
        int p = n / 3;
        int r = n % 3;
        if (p > 0) 
		{
            if (r > 0) 
			{
                // 每个组拿一个，余数组拿一个
                n -= p + 1;
            } 
			else {
                // 每个组拿一个
                n -= p;
            }
        }
		else {
            // 余数组一个一个拿
            n -= 1;
        }
        days++;
    }

    cout << days;
    return 0;
}

2. 第几天拿走最后一个苹果

考虑取苹果的过程，如果余数组苹果个数为 1, 那么这天就是取最后一个苹果的日子，

如果余数组苹果数量始终不为1, 那么最后一个苹果一定是最后一天拿走的。

因此，我们增加一个标志位，表示在取苹果的过程中，是否取走过最后一个，如果取走了，就记录天数；否则，就是最后一天。

if (p > 0) 
{
    if (r > 0) 
    {
        ......
        if (!flag && r == 1)
         {
            lastDay = days + 1;
            flag = true;
        }
    } 
    else 
    {
        ......
    }
} 
else 
{
    ......
}
if (!flag) 
{
      lastday = days
}

完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
typedef int intt;
#define int long long
using namespace std;
intt main() 
{
    int n = 0;
    cin >> n;

    int days = 0;
    int lastDay = 0;
    bool flag = false;

    // n = 3p + r;
    while (n > 0 ) 
	{
        int p = n / 3;
        int r = n % 3;
        if (p > 0) 
		{
            if (r > 0) 
			{
                // 每个组拿一个，余数组拿一个
                n -= p + 1;
                if (!flag && r == 1) 
				{
                    lastDay = days + 1;
                    flag = true;
                }
            }
			else 
			{
                // 每个组拿一个
                n -= p;
            }
        } 
		else 
		{
            // 余数组一个一个拿
            n -= 1;
        }
        days++;
        if (!flag) 
		{
            lastDay = days;
        }
    }

    cout << days << ' ' << lastDay;
    return 0;
}

 

总结：

“任何一个整数，可以表示为被三整除的部分加上余数部分”：

n = 3 * p + r