三门问题的python代码模拟和原理解释

fsj2009yx

于 2024-12-06 19:08:48 发布

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文章标签： python 概率论

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三门问题的python代码模拟和原理解释

刷视频时偶然刷到了三门问题，于是好奇的查阅了一下

先给出三门问题的简单介绍（引用自百度）：

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。

当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。
主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率。如果严格按照上述的条件，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。

开始和大多数人想的一样，会选择继续开第一扇门或者认为换和不换的概率都为 $1/2$ ，答案显然不是。

为更直观的看到三门问题的正确性，我写了一段python代码模拟这个过程

代码

import random

num :int =10000000

doors=['sheep','sheep','car']

win_num :int =0

for i in range(num):
    random.shuffle(doors) #随机打乱
     #首先选择第一个门，主持人开启另一个门
    #choice=doors[0]
    #展示另一个门为山羊
    if doors[1]=='sheep':
        sheep=doors[1]
        index=2
    else:
        sheep=doors[2]
        index=1
    #选择换门
    choice=doors[index]
    if choice=='car':
        win_num+=1

print(f"获奖的概率为{win_num/num*100}%")

经过多次运行，在 $10000000$ 次试验的环境下，最后的输出结果接近于 $66.7\%$ ，也就是 $2/3$

原理解释

很显然这是一个概率论的问题，我们来构建更加具体的概率问题：

问题简述：

有三扇门，其中一扇门后面藏有一辆车，另外两扇门后面藏有山羊。
你首先选择一扇门。
主持人知道哪个门后面有车，之后会打开一扇没有车的门，通常是两扇你没选的门中的一扇。
然后主持人会问你是否要换门。如果你换门，你会选择剩下的未被你选中且未被主持人打开的门。

问题是：是否换门能增加获胜的概率？

假定选手选择第一扇门

A=第一扇门中是车
B=第二扇门中是车
C=第三扇门中是车
D=主持人选择打开第三扇门

在初始情况下： $P (A) = P (B) = P (C) = 1/3$ ;

然后，主持人打开了第三扇门，且我们知道第三扇门后面是山羊。

此时注意：由于主持人并不是固定打开三号门，主持人需要选择不是车的那个门来打开，只是在事例中，我们事先假定了三号门为羊

如果第一扇门后面有车（事件A），也就是说主持人选择第二扇门和第三扇门都可以。所以，在事件A下，主持人选择打开第三扇门的概率是 $P (D ∣ A) = 1/2$ ，
如果第二扇门后面有车（事件B），主持人只能打开第三扇门（因为第三扇门后有山羊）。因此，在事件B下，主持人打开第三扇门的概率是 1,即 $P (D ∣ B) = 1$
如果第三扇门后面有车（事件C），主持人就不能打开第三扇门了。因此，在事件C下，主持人只能选择打开第二扇门， $P (D ∣ B) = 0$

现在我们需要计算在主持人打开第三扇门的情况下，是否换门能够增加获胜的概率：

在换门的情况下，最终选择第二扇门
由贝叶斯公式，计算 $\frac{P(D | B)P(B)}{P(D)}$
由全概率公式，计算 $P (D)$ = $P (D ∣ A) P (A) + P (D ∣ B) P (B) + P (D ∣ C) P (C) = (1/2 * 1/3) + 1 * 1/3 + 0 = 1/2$ ;