8.F - 分解质因子plus

Description

对 �!N! 进行质因子分解。

Input

输入数据仅有一行包含一个正整数 �N,�≤10000N≤10000。

Output

输出数据包含若干行,每行两个正整数 �,�p,a,中间用一个空格隔开。表示 �!N! 包含 �a 个质因子 �p,要求按 �p 的值从小到大输出。

Sample 1

InputcopyOutputcopy
10
2 8
3 4
5 2
7 1

Hint

10!=3628800=(28)×(34)×(52)×710!=3628800=(28)×(34)×(52)×7。

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<map>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define int ll
using namespace std;
const int N=1e6+7;
map<int,int> mp;
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n;
	cin>>n;
	for(int k=n;k>=1;k--)
	{
		int temp=k;
		for(int i=2;i*i<=n;i++)
		{
			while(temp%i==0)
			{
				mp[i]++;
				temp/=i;
			}
		}
		if(temp!=1) mp[temp]++;
	}
	for(auto it=mp.begin();it!=mp.end();it++)
	{
		cout<<it->first<<' '<<it->second<<endl;
	}
	return 0;
}

### 分位数因子向量自回归模型概述 分位数因子向量自回归(Quantile Factor Vector Autoregression, QFVAR)模型是一种高级统计工具,在经济学、金融学以及其他社会科学领域广泛应用。该模型融合了传统向量自回归(Vector Autoregression, VAR)[^1] 和分位数回归(Quantile Regression) 的特点,允许研究者不仅关注均值动态关系,还能深入探讨不同分布位置下的条件异质性影响。 #### 模型结构与特性 QFVAR 结合了多个维度来捕捉复杂的时间序列特征: - **多变量框架**:如同标准的VAR一样处理多个相互关联的过程; - **因素分解**:引入潜在共同驱动因素(factor),这些因素可能代表宏观经济状况或其他广泛的影响源; - **分位数视角**:超越传统的期望值估计,提供对整个响应分布更全面的理解; 这种组合使得QFVAR特别适合于识别极端事件期间的风险传导机制以及评估政策冲击在整个市场中的传播路径[^2]。 #### 应用场景举例 假设存在一组国家层面的经济指标构成时间序列集合{GDP增长率, CPI通胀率},通过构建QFVAR可以实现如下目标: - 探讨货币政策调整如何沿着不同的通货膨胀水平传递给实际产出变化; - 测算金融危机爆发前后各经济体间联系强度的变化模式; ```python import numpy as np from statsmodels.tsa.api import VAR from quantregression import QuantReg # Hypothetical module for demonstration purposes def qfvar(data_matrix, factors=None, lags=1, tau=[0.5]): """ A simplified function to demonstrate the concept of a Quantile Factor Vector Autoregression. Parameters: data_matrix : array-like The multivariate time series dataset. factors : list or None List of common factors affecting all variables in `data_matrix`. lags : int Number of lagged terms included in each equation within the system. tau : float or iterable Desired quantiles at which regressions are performed. Returns: results : dict Dictionary containing fitted models per variable and quantile combination. """ n_vars = data_matrix.shape[1] result_dict = {} if isinstance(tau, (int, float)): taus_to_fit = [tau] else: taus_to_fit = tau for var_idx in range(n_vars): endog_var = data_matrix[:, var_idx] exog_vars = [] # Add own past values up until specified number of lags for i in range(1, lags + 1): shifted_series = np.roll(endog_var, shift=i) exog_vars.append(shifted_series) # Include other contemporaneous variables plus their respective histories for col in range(n_vars): if col != var_idx: current_col_data = data_matrix[:, col] for j in range(lags + 1): # Including zero-lag term here shifted_other_series = np.roll(current_col_data, shift=j) exog_vars.append(shifted_other_series) # Optionally add external factors influencing all equations equally if factors is not None: exog_vars.extend(factors) X = np.column_stack(exog_vars) for t in taus_to_fit: qr_model = QuantReg(endog=endog_var, exog=X).fit(q=t) key_name = f'Variable_{var_idx}_at_quantile_{t}' result_dict[key_name] = qr_model return result_dict ``` 此代码片段展示了创建一个简化版QFVAR函数的方法,它接受多元时间序列矩阵和其他输入参数,并返回每种情况对应的拟合结果字典。请注意这只是一个概念性的展示,具体实施细节会依据所使用的库和个人需求有所不同。
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