【动态规划】斐波那契数列模型

【动态规划】斐波那契数列模型

前言

​ 我们将深入探讨解决斐波那契数列模型相关问题的解决方法。通过一系列精心挑选的例题，我们将展示如何运用DP的核心原则来解决各种编程挑战，从泰波那契数的计算到楼梯爬升问题，再到解码方法的多样性。每个问题都将通过状态表示、状态转移方程、初始化、填表顺序和返回值的详细分析来解构，旨在提供一个清晰的算法实现框架，帮助读者掌握DP的精髓，并在实际编程中灵活运用。

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一、第 N 个泰波那契数

题目链接：第 N 个泰波那契数

泰波那契序列 Tn 定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn + 3 = Tn + Tn + 1 + Tn + 2
给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

算法流程：

1. 状态表示

由题给出的要求：返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值，所以确定 dp[i] 表示：第 i 个泰波那契数的值

2. 状态转移方程

对题中给出的递推公式：T_n+3 = T_n + T_n+1 + T_n+2，两边同时令n = n-3时，可得T_n = T_n-3 + T_n-2 + T_n-1，所以我们可以得到状态转移方程：

dp[i] = dp[i - 3] + dp[i - 2] + dp[i - 1]

3. 初始化

由状态转移方程可知，数组下标不能小于0，故 i 的取值最小为 i = 3，所以我们在填表之前需要将 0,1,2 的位置值初始化。由题中给出 T₀， T₁， T₂ 的值，即可初始化：dp[0] = 0, dp[1] = dp[2] = 1

4. 填表顺序

从左往右

5. 返回值

要求T_n的值，应该返回 dp[n] 的值

示例代码：

int tribonacci(int n) 
{
   
    // 注意提前处理边界条件，避免访问越界
    if (n == 0) {
    return 0; }
    if (n == 1 || n == 2) {
    return 1; }

    // 滚动数组节约空间
    size_t a = 0, b = 1, c = 1;
    size_t result = a + b + c;
    for (int i = 3; i < n; ++i)
    {
   
        a = b;
        b = c;
        c = result;

        result = a + b + c;
    }

    return result;
}

二、三步问题

题目链接：三步问题

有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。

实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。

结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

提示:

​ n范围在[1, 1000000]之间

算法流程：

1. 状态表示

dp[i] 表示：到达 i 位置时，一共有多少种方法

2. 状态转移方程

由于 dp[i] 表示一共多少中方式可以到 i 位置，且题目规定一次可以上1,2,3个台阶，所以得到状态