笔试题11 -- 装箱问题（01背包）

装箱问题（01背包）

题目链接：NOIP2001装箱问题

一、原题复现

题目描述

有一个箱子容量为V（正整数，0 ≤ V ≤ 20000），同时有n个物品（0＜n ≤ 30），每个物品有一个体积（正整数）。
要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

输入描述:

• 1个整数，表示箱子容量
• 1个整数，表示有n个物品
• 接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积

输出描述:

1个整数，表示箱子剩余空间。

输入

24
6
8
3
12
7
9
7

输出

0

二、思路剖析

1. 首先观察题中希望得到剩余空间最小时剩余的空间值，要达到该要求，需要我们塞入体积总和尽可能多的物体。由于每个物体的体积都是正数，不妨我们将最终推测的目标转换为从众多物品中选取，在总体积不超过V的情况下，使得箱子内的物品总体积尽可能大。最终返回的结果即：“V - 最大总体积”。

2. 对于每个物品，他们都有各自对应的体积大小，同时对于达成最终目标而言，都有选择与不被选择两种情况，这两种情况可以分别表示为 ‘0’, ‘1’ ，所以该题应该将 01 背包问题纳入考虑范围。

3. 因为有总体积不超过V的限制，所以我们dp数组递推的过程有一个字段是**“峰值容量”**，它的递推范围为 [0, V]。当然，峰值容量为0时，不能装任何物品，那么该字段为0对应的dp表空位可以直接初始化为0。

4. 同样地，因为有n个物品，对他们进行标号，也就有了另外一个字段为**“物品序号”**，递推范围为 [1, n]，直接表示为第i个物品。

5. 通过上面 (3)、(4) 的分析，最终的 dp 表在两字段对应都需要多开一个位置，便于初始化完成后，对剩余位置的循环递推赋值。不妨设定 i 为前 i 件物品（理由：由于判断第 i 物品时，峰值容量是否足够容纳该物品，而判断总体积时前面的物品也已经装在箱子