第7章 查找——动态查找

二叉搜索树

二叉搜索树的概念

二叉搜索树(二叉排序树  二叉查找树)

根结点值大于其左子树中的所有结点值

根结点值小于其右子树中的所有结点值

左右子树都是二叉搜索树（递归）

typedef struct{
     KeyType key; … ;  
} ElemType;
typedef struct BiTNode{
    ElemType data; 
    struct BiTNode  *lchild,*rchild;
}BiTNode, *BiTree；
typedef BiTree BSTree; 
typedef BiTNode BSTNode; 

二叉搜索树的查找

递归

如果树为空，查找失败，返回NULL

否则，从根节点开始，将x与根节点比较

若x小于根节点，递归查找左子树，并返回查找结果

若x大于根节点，递归查找右子树，并返回查找结果

若x等于根节点，查找成功，返回根节点地址

BSTree BSTSearch( BSTree T, KeyType key) {
    if( !T) return NULL;   //查找失败

    else{
        if( key > T->data.key )//右子树中递归查找并返回结果

            return BSTSearch( T->rChild, key);     
        else if( key < T->data.key)//左子树递归查找并返回结果

            return BSTSearch( T->lchild, key);       
        else                          // 查找成功
            return T;                      
     }
}

非递归

p最初指向根结点,只要p不空且p所指结点不是所求则：根据比较结果令p变为当前结点的左孩子或右孩子。如此重复至p空或者找到

BiTNode *BSTSearch(BSTree T, KeyType key){
   BiTNode *p=T;
   while(p && !EQ(key,p->data.key)){
       if(LT(key,p->data.key)) 
              p=p->lchild; //向左子树中移动，继续查找
       else
              p=p->rchild;//向右子树中移动，继续查找
   }
   if(!p)return NULL;
   else return p;//查找结束

}

查找最小和最大元素

二叉检索树的插入

原理

先查找是否有重复节点，无重复则插入，插入位置是最后所走节点的孩子

代码实现

查找过程中同时记录所走节点和其父节点f, 无重复时新开辟节点放到f孩子上

递归关系：与根节点比较，相等则不插入，否则，转换为左或右子树中的插入

递归边界：发现重复不递归，返回ERROR；到达空树不递归，直接开辟节点

注意：空树时插入如何判断？

Status BSTInsert (BSTree &T, ElemType e){ //注意T需要为引用型参数

   BSTNode *p=T, *f=NULL;
   while(p!=NULL && !EQ(e.key,p->data.key)){
       if(LT(e.key, p->data.key)){  f=p;  p=p->lchild; }
       else{  f=p;  p=p->rchild; }
   }
   if(!p){ 
          q=new BiTNode;
          q->data = e; q->lchild = NULL; q->rchild = NULL;
          if(!f)T=q;
          elise if (e < f->data) f->lchild=q;
          else f->richild = q;
          return OK; 
   }
   else   return  ERROR;
   }
}

二叉搜索树的创建【补充】

原理

从空树开始，逐个读取节点并插入，直至读到结束符。

代码实现

Status CreateBST(BSTree &T){
    T = NULL;
    while( InputElem(e)<= 0){ 
        if( BSTInsert (T,e) == ERROR )
              return ERROR;
        else 
               InputElem(e);
    }
}

删除节点过程

原理：

1.删除叶子节点：直接删除

2.删除只有一个子树的节点：直接将子树接到被删除节点的双亲指针上

3.删除有两个子树节点：将左子树最大或右子树最小移至删除位置，归结为删除左子树最大或者右子树最小节点，这两类节点至多只有一个孩子！

代码实现

1.定位被删除节点及其双亲节点，以便修改双亲节点的指针取值 找不到被删除节点则无需删除，直接返回

    p=T;
    f=NULL;
   while(p!=NULL&&!EQ(key,p->data.key)){
       if(LT(key,p->data.key)){
               f=p;
               p=p->lchild;  
       }
       else{
               f=p; p=p->rchild;  
       }
   }
   if(!p) return;

 2.删除叶节点：释放节点，双亲指针赋空 双亲为空时，除释放节点外，因删除后为空树，T也需赋空

if( !p->lchild&&!p->rchild ){
   if(!f){
         free(p);   p=NULL;
         T=NULL; 
   }else if(f->lchild==p){
          free(p); p=NULL; 
          f->lchild=NULL; 
   } else {
          free(p); p=NULL;
          f->rchild=NULL;
    }
}

3.删除单子节点：释放节点，双亲指针指向其唯一的孩子 双亲为空时，除释放节点外，T也需修改 此代码同样可以用来删除叶子节点！

if(!p->lchild){//只有右子树(左子树为空)的情况
   if(!f) {
          T=p->rchild;  
          free(p);  p=NULL; 
    }else if(f->lchild==p){
           f->lchild = p->rchild; 
           free(p); p=NULL; 
   }else {
           f->rchild = p->rchild; 
           free(p);p=NULL; 
   }
}
……//只有左子树时，类似处理

4.汇总

void DeleteBST(BiTree &T,KeyType key){
 //首先定位被删结点及其双亲, 不存在则直接返回
 p=T; f=NULL;
 while(p!=NULL&&!EQ(key,p->data.key)){
   if(LT(key,p->data.key)){f=p;p=p->lchild;}else{f=p; p=p->rchild;}
 } 
 if(!p) return;
if(p->lchild&&p->rchild){//若被删节点有两个孩子
   f=p; q=p->lchild;  //f始终指向q的双亲，方便后面的删除
   while(q->rchild){f=q; q=q->rchild;} //q定位最大,f指向其双亲
   p->data=q->data;  //左子树最大者的值填充到原本被删节点
   if(f->lchild==q) f->lchild = q->lchild; else f->rchild=q->lchild;   
   free(q);
}
else if(!p->lchild){//若左孩子为空(包括只有右孩子或两个孩子都没有的情况)
   if(!f) {free(p); T=p->rchild;}
   else if(f->rchild==p){f->rchild=p->rchild; free(p);}
   else {f->lchild=p->rchild; free(p);}
}
else   {…} //只有左孩子,仿照上一段代码, 绿色部分换成p->lchild
} //教材算法9.8没用f和p，而是通过引用传递让p直接表示双亲指针,代码简化

总结与推广

什么样的二叉搜索树查找性能最高？

平衡二叉树 AVL树

概念

任意节点的平衡因子（左右子树深度之差）的绝对值不超过1。

平衡二叉搜索树的构造

先按照二叉搜索树的节点插入方法插入节点，不满足平衡要求时调整！

找到最小不平衡二叉树的根后，根据不平衡种类作相应的旋转！既要保证平衡，也要保证是二叉搜索树！

A这边边比较长 

 

 例子 

 

第一个有问题的结点选三个，中间大的往上抬。

断开的左边往左边走，右边往右边走。

插入

删除

B-树（B-Tree）

概念

 “平衡”的“多路”“查找”树（ 平衡二叉树的推广） 特点：平衡（叶子节点/失败节点同层） ，多关键字，查找树

一颗m阶的B树是空树，或是满足下列特性的m叉树：

n为关键字个数

树上有序，结点也有序。

B-树的查找

从根结点出发，沿树形结构搜索结点和在结点内进行顺序（或折半）查找 两个过程交叉进行。

B-树的查找性能分析

B-树的查找时间主要花在树结点的定位上，这取决于B-树的深度。

B-树的插入（创建）

若查找成功则不能插入，否则，应试图插入到查找路径中最后一个内部结点上。内部结点关键字个数须在Ceil(m/2)-1和m-1之间，若超界则“分裂” 分裂:选中间关键字上移,当前结点分成两个,下层相应分；若上移导致双亲关键字个数超界则继续上移.

 

B-树的删除

被删节点为最下层非叶节点则直接删,否则用右侧子树最小记录顶替（规约） 内部节点关键字数量有下界Ceil(m/2)-1，低于此值要“求助”或“合并”

B+树（plus）

概念： “平衡”的“多路”“索引”树

特点：平衡(叶子节点/记录节点同层), 多关键字, 索引树, 顺序与随机查找并行

总结与推广

 

 补充：索引顺序表的查找（分块查找）

概念

对数据进行分块，使得块内无序、块间有序。将各块中的最大关键字构成一个索引表，表中还要包含每块的起始地址。

补充：分块查找过程

① 对索引表用折半查找定位最后一个小于等于key的块

② 确定了待查关键字所在的块后，块内采用顺序查找

补充：分块查找性能分析

分块查找优缺点

总结

二叉树 

 

二叉排序树

 平衡二叉树

红黑树（不大量做旋转）

B-树（树的深度变大的情况）

逐渐提高查找速率 

二叉树可视网站

https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BTree.html