[分治算法]棋盘覆盖

最新推荐文章于 2024-12-11 12:38:57 发布

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分类专栏：算法学习文章标签：算法数据结构

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在一个 $2^{k}\times 2^{k}$ 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

当k = 1时，棋盘规模为2×2。此时，由数学归纳法可知：无论特殊方格在哪个位置（左上、左下、右上、右下），剩下的方格都可以用L型骨牌对其覆盖，如下图所示。

因此，我们可以将一个 $2^{k}\times 2^{k}$ 的棋盘经过多次划分直至k=1，也就是一个2×2的棋盘。下面展示一个例子：将 k=2 的棋盘（4×4）划分为 k=1的棋盘（2×2），如下图所示。大家可以发现：一个 $2^{k}\times 2^{k}$ 的棋盘可以划分为 4 个 $2^{k-1}\times 2^{k-1}$ 的棋盘。

接下来，在划分之后的棋盘里，左上角子棋盘k=1并且含有特殊方格（绿色方格），所以一定能被L型骨牌覆盖。而右上角、左下角、右下角子棋盘均不含特殊方格，那么我们可以给它们分别设定特殊方格（粉色方格），使其能被L型骨牌覆盖。

但这里要注意，粉色方格并不是随意设定的，应该使其形成一个L型骨牌。所以对于每种类型的子棋盘都有固定的位置设定特殊方格。注意：含有特殊方格（绿色方格）的不能再设定特殊方格（粉色方格）。

对于左上角子棋盘，应该将其右下角设为特殊方格。
对于右上角子棋盘，应该将其左下角设为特殊方格。
对于左下角子棋盘，应该将其右上角设为特殊方格。
对于右下角子棋盘，应该将其左上角设为特殊方格。

下面给出代码

//tr表示棋盘左上角方格的行号  tc表示棋盘左上角方格的列号
//dr表示特殊方格的行号  dc表示特殊方格的列号
//size等于2的k次方。棋盘规格为2的k次方乘以2的k次方

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
   {
      if (size == 1) //k=0
          return;

      int t = tile++,  // L型骨牌号
      //注意这里等价于t = tile 然后tile++     tile是全局变量 从0开始

      s = size/2;  // 分割棋盘

      // 情形一：覆盖左上角子棋盘
      if (dr < tr + s && dc < tc + s)   // 特殊方格在此棋盘中
         chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
      else {                            // 此棋盘中无特殊方格         
         board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;   // 用 t 号L型骨牌覆盖右下角         
         chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);}   // 覆盖其余方格
      
      // 情形二：覆盖右上角子棋盘
      if (dr < tr + s && dc >= tc + s)  // 特殊方格在此棋盘中           
         chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);   
      else {                            // 此棋盘中无特殊方格       
         board[tr + s - 1][tc + s] = t;   // 用 t 号L型骨牌覆盖左下角
         chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);}   // 覆盖其余方格
        
      // 情形三：覆盖左下角子棋盘
      if (dr >= tr + s && dc < tc + s)  // 特殊方格在此棋盘中          
         chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);  
      else {  
         board[tr + s][tc + s - 1] = t;   // 用 t 号L型骨牌覆盖右上角
         chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);}   // 覆盖其余方格     
     
      // 情形四：覆盖右下角子棋盘
      if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) // 特殊方格在此棋盘中        
         chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);  
      else {                 
         board[tr + s][tc + s] = t;       // 用 t 号L型骨牌覆盖左上角         
         chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);}   // 覆盖其余方格
   }

接下来演示一个较为复杂的例子，方便大家更好的理解。这里给出一个k=3的棋盘（8×8）。

第一次划分，将 $2^{3}\times 2^{3}$ 的棋盘划分为4个 $2^{2}\times 2^{2}$ 的棋盘（红色直线）。

按照代码，先判断 size == 8 != 1 （当前棋盘的边长），然后 t = 0，tile = 1（这里tile先赋值给t，再自增）。s = size/2 = 4（表示划分后每个子棋盘的边长）。接着开始分析四种情形：

1.对于1号直线左上角子棋盘，含有特殊方格，递归（继续对它进行划分，绿色直线），这是第二次划分。

此时，size == 4 != 1，然后 t = 1,tile = 2。s = size/2 = 2。接着开始分析四种情形：

1.1 对于2号直线左上角子棋盘，不含特定方格，需先设定特殊方格（设定在该子棋盘的右下角，下图中的粉色方格，此时 t = 1 ，故给其标号为1），再覆盖其他方格。

设定特殊方格后，根据代码可知，要继续覆盖其他方格，所以进行第三次划分（蓝色直线）。

1.1.1此时，size == 2 != 1，然后 t = 2,tile = 3。s = size/2 = 1。对于3号直线左上角、右上角、左下角子棋盘进入下一次递归会return，因为size == 1。所以此时给它们都标注2（黄色方格，此时 t = 2 ，故给其标号为2）。

返回上一层的递归。

1.2. 对于2号直线右上角子棋盘，不含特定方格，需先设定特殊方格。因为返回了上一层，所以 t=1，tile=3（全局变量）（下图中的粉色方格，此时 t = 1 ，故给其标号为1），再覆盖其他方格。

设定特殊方格后，根据代码可知，要继续覆盖其他方格，所以进行第四次划分（4号直线）。

1.2.1 此时，size == 2 != 1，然后 t = 3,tile = 4。s = size/2 = 1。对于4号直线左上角、右上角、右下角子棋盘进入下一次递归会return，因为size == 1。所以此时给它们都标注3（绿色方格，此时 t = 3 ，故给其标号为3）。

返回上一层的递归。

1.3.对于2号直线左下角子棋盘，含有特殊方格，递归（继续对它进行划分，深蓝色直线），这是第五次划分。

此时，size == 2 != 1，t = 4，tile = 5，s = size/2 = 1。对于5号线直线左上角、右上角、左下角子棋盘进入下一次递归会return，因为size == 1。所以此时给它们都标注4（绿色方格，此时 t = 4 ，故给其标号为4）。

对于为什么递归后 t = 4 而不是1这个问题，原因如下：当 t = 1 的时候，对于2号直线的左上角、右上角、右下角子棋盘都会使用当前的 t = 1，但唯独在2号直线左下角子棋盘的时候没有使用当前的 t = 1，而是递归之后的t。观察代码应能很快理解。

返回上一层的递归。

1.4对于2号直线右下角子棋盘，不含特定方格，需先设定特殊方格，再覆盖其他方格。因为返回了上一层，所以 t=1，tile=5（全局变量）（下图中的粉色方格，此时 t = 1 ，故给其标号为1），再覆盖其他方格。

设定特殊方格后，根据代码可知，要继续覆盖其他方格，所以进行第六次划分（6号直线）。

1.4.1 此时size == 2 != 1，然后 t = 5,tile = 6。s = size/2 = 1。对于6号直线右上角、左下角、右下角子棋盘进入下一次递归会return，因为size == 1。所以此时给它们都标注5（绿色方格，此时 t = 5 ，故给其标号为5）。

返回上一层递归。

对于1号直线右上角子棋盘，需先设定特殊方格，再覆盖其他方格。

这里跟大家解释一下为什么橙色方格填0。因为在最初的状态下 t = 0，因为进入了1号直线左上角子棋盘（含有特殊方格，所以进一步递归，没有用到 t = 0），只有当1号直线左上角子棋盘全部覆盖后，就会进入1号直线右上角子棋盘的覆盖，此时 t = 0。

后续步骤与1号直线左上角子棋盘的思路完全一致，就不展开说明了。

对于1号直线左下角子棋盘，需先设定特殊方格，再覆盖其他方格。（略）
对于1号直线右下角子棋盘，需先设定特殊方格，再覆盖其他方格。（略）

最后整个棋盘的覆盖情况如下图所示：

希望大家学有所获！