分治法之棋盘覆盖

最新推荐文章于 2024-05-28 12:14:19 发布

yskyj

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分类专栏：算法文章标签：算法

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一、问题描述

在一个2k x 2k ( 即：2^k x 2^k )个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

二、算法思路

实现的基本原理是将2^k * 2^k的棋盘分成四块2^(k - 1) * 2^(k - 1)的子棋盘，特殊方格一定在其中的一个子棋盘中，如果特殊方格在某一个子棋盘中，继续递归处理这个子棋盘，直到这个子棋盘中只有一个方格为止如果特殊方格不在某一个子棋盘中，将这个子棋盘中的相应的位置设为骨牌号，将这个无特殊方格的了棋盘转换为有特殊方格的子棋盘，然后再递归处理这个子棋盘。

值得一提的是如何确定一个2^k * 2^k的有特殊块的棋盘呢？ 1）棋盘左上角的坐标 2）棋盘中特殊块的坐标 3）k的数值

这样一个大的棋盘被划分成A B C D四个小的棋盘，依次判断特殊块（红色）是否在子棋盘中，若在子棋盘中，则直接递归求解该棋盘。

若不在子棋盘中，则在把“相应”的块标记为特殊块（黄色），再继续递归求解。

递归的边界条件是该棋盘中只有一个块。

伪代码描述：

static int count=0;

void chessboard(int startx, int starty ,int specialx , int speialy, int size)

{

mid=size/2;//将棋盘划分为4个大小为mid的子棋盘

++count;

if（特殊块在A中）

chessboard(startx, starty , specialx , specialy, mid)

else

array[startx+mid-1][starty+mid-1]=count;//置位黄色

chessboard(startx,starty,startx+mid-1,starty+mid-1,mid);

if(特殊块在B中)

chessboard(startx,starty+mid, specialx, specialy, mid);

else

array[startx+mid-1][starty+mid]=count;

chessboard(startx,starty+mid,startx+mid-1,starty+mid,mid);

if(特殊块在C中)

chessboard(startx+mid, starty ,specialx,specialy,mid);

else

array[startx+mid][starty+mid-1]=count;

chessboard(startx+mid,starty,startx+mid,starty+mid-1,mid);

if(特殊块在D中)

chessboard(startx+mid,starty+mid,specialx,specialy,mid);

else

array[startx+mid][starty+mid]=count;

chessboard(startx+mid,starty+mid,startx+mid,starty+mid,mid);

}

三、代码实现

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int k;
int size; 
static int count=0;
int arr[100][100];

void chessboard(int startx,int starty, int specialx, int specialy, int size)
{
	int mid=size/2;
	int t=++count;
	if(size==1)
			return ;

	if(specialx<startx+mid&&specialy<starty+mid)
		chessboard(startx,starty,specialx,specialy,mid);
	else
	{
		arr[startx+mid-1][starty+mid-1]=t;
		chessboard(startx,starty,startx+mid-1,starty+mid-1,mid);
	}

	if(specialx<startx+mid&&specialy>=starty+mid)
		chessboard(startx,starty+mid,specialx,specialy,mid);
	else
	{
		arr[startx+mid-1][starty+mid]=t;
		chessboard(startx,starty+mid,startx+mid-1,starty+mid,mid);
	}

	if(specialx>=startx+mid&&specialy<starty+mid)
		chessboard(startx+mid,starty,specialx,specialy,mid);
	else
	{
		arr[startx+mid][starty+mid-1]=t;
		chessboard(startx+mid,starty,startx+mid,starty+mid,mid);
	}

	if(specialx>=startx+mid&&specialy>=starty+mid)
		chessboard(startx+mid,starty+mid,specialx,specialy,mid);
	else
	{
		arr[startx+mid][starty+mid]=t;
		chessboard(startx+mid,starty+mid,startx+mid,starty+mid,mid);
	}
}


int main()
{
	memset(arr,0,sizeof(int)*100*100);
	cin>>k;
	size=(int)pow((double)2,(double)k);
	chessboard(0,0,0,0,size);
	int i,j;
	for(i=0;i<size;i++)
	{
		for(j=0;j<size;j++)
		{
			cout<<arr[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}

	return 0;
}