[动态规划]矩阵连乘问题

喝水时间到

于 2024-11-13 22:15:10 发布

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文章标签：动态规划矩阵算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/2202_75336422/article/details/143717222

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题目：

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少？

下面给出矩阵连乘的模板：

void MetrixChain(int p[],int n){
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        m[i][i] = 0;  //矩阵链长度为0
    }

    for(int r = 2;r <= n;r++){  //r控制矩阵链长度
        for(int i = 1;i <= n-r+1;i++){  //i控制起点 j控制终点
            int j = i+r-1;

            // k = i的情形，为m[i][j]设置初始值，以便和res比较
            m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
            s[i][j] = i;

            for(int k = i+1;k < j;k++){   // i < k < j 的情形
                int res = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(res < m[i][j]){
                    m[i][j] = res;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

先给大家举一个例子，方便理解。

假设题目给出了6个矩阵以及每个矩阵的行数和列数，如下图所示：

我们可以根据这6个矩阵的行数和列数的规律，设定一个数组 p 来存放。

接下来我们画一个二维表格，行表示起点，列表示终点。每个方格表示从A[i]到A[j]的最少数乘次数 m[i][j]。例如 m[1][3]表示(A1A2A3)的最小数乘次数。注意：只有 i < j 的时候才有最小数乘次数。

我们按照矩阵链长度递增的方式依次计算 m[i][j]。

当矩阵链长度为1时，根据矩阵的性质可知，单个矩阵无法相乘，所以 (A1) = 0 ，(A2) = 0，以此类推。在表格中补全单个矩阵的最小数乘次数，如下图所示。

当矩阵链长度为2时，我们依次计算m[1][2]，m[2][3]，m[3][4]，......，m[i][i+1](i <= n-2+1，理由见代码)。在代码里面矩阵链长度为2的不考虑 k 划分。因为 k 要满足 i <= k < j 条件，而此时 j = i + 1，所以 k 只能等于 i 。此时将 k = i 代入通用公式m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]×p[i]×p[j] 得到 m[i][j] = m[i][i] + m[i+1][j] + p[i-1]×p[i]×p[j] ，进一步化简可得m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]×p[i]×p[j]。例如m[1][2] = ((A1)A2) = m[1][1] + m[2][2] + p[0]×p[1]×p[2] = 0 + 0 + p[0]×p[1]×p[2] = 30×35×15 = 15750。断开位置 k 为 i，故s[i][j] = i。

这里解释一下为什么代码里要先算出所有矩阵链长度为2的数乘次数。因为计算矩阵链长度为3的数乘次数其实就是在矩阵链长度为2的基础上，再和另一个矩阵相乘，以此类推。我们先把矩阵链长度小的全部算出来并存在二维数组里，这样在计算矩阵链长度大的数乘次数时就可以直接用，不用重复计算了。

当矩阵链长度为3时，我们依次计算m[1][3]，m[2][4]，......，m[i][i+2](i <= n-3+1，理由见代码)。例如m[2][4] = A2A3A4 ，这里的 k 就可以通过for循环来控制，用通用公式计算m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]×p[i]×p[j]。当 k = i+1时，m[2][4] = (A2A3)A4 = m[2][3] + m[4][4] + p[1]×p[3]×p[4] = 2625 + 0 + 35×5×10 = 4375 。算出来之后还需要和原来的值进行比较大小，看是否需要更新 m[i][j],s[i][j]。