【算法】动态规划-矩阵连乘

• Description

  • 由不同加括号顺序所带来的矩阵乘积的代价不同，考虑三个矩阵的链(A_1,A_2,A_3)的问题。假设三个矩阵的维数分别为10∗10010∗100，100∗5100∗5，5∗505∗50。如果按((A1A2)A3)((A1​A2​)A3​)规定的次序来做乘法，求105105的矩阵乘积A1A2A1A2要做10∗100∗5=500010∗100∗5=5000次的标量乘法运算，再乘上A3A3​还要做10∗5∗50=250010∗5∗50=2500次标量乘法，总共75007500次标量乘法运算。如果按(A1(A2A3))(A1​(A2​A3​))的次序来计算，则为求1005010050的矩阵乘积A2A3A2​A3​要做100∗5∗50=25000100∗5∗50=25000次标量乘法运算，再乘上A1A1​还要10∗100∗50=5000010∗100∗50=50000次标量乘法，总共7500075000次标量乘法运算。因此，按第一种运算次序进行计算就要快到1010倍。

  • 矩阵链乘法问题可表述如下:给定nn个矩阵｛A1,A2,…,An｝｛A1​,A2​,…,An​｝，其中，Ai与Ai+1Ai​与Ai+1​是可乘的，(i=1,2,…,n−1)(i=1,2,…,n−1)。用加括号的方法表示矩阵连乘的次序，不同的计算次序计算量（乘法次数）是不同的，找出一种加括号的方法，使得矩阵连乘的次数最小。

• Input

  • 输入一个nn表示有nn个矩阵

  • 第二行输入n+1n+1个数字，其中第ii个数字和第i+1i+1个数字合成一个矩阵。

3
10 100 5 50

• Output

  • 输出一个数且不带任何空格回车，表示最小运算次数。

  • **注意，本OJ不支持行末空格回车特判**

7500

• Source

  • 广西大学在线评测平台 https://oj.gxu.edu.cn

• 代码部分：

#include <stdio.h>

#define MaxNum 100

int p[MaxNum]; //输入矩阵 
int m[MaxNum][MaxNum]; //最优解

void MatrixChain(int n){
	int i,j,k,r;
	for(r=2;r<=n;r++){
		for(i=1;i<=n-r+1;i++){
			j = i+r-1;
			int temp = 1000000;
			for(k=i;k<j;k++){
				int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(temp>t){
					temp = t;
				}
			}
			m[i][j] =temp;
		}
	}
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<=n;i++){
		scanf("%d",&p[i]);
	}
	MatrixChain(n);
	printf("%d",m[1][n]);
	return 0;
}