6、逆矩阵计算的分解方法

逆矩阵计算的分解方法

1. 引言

在数值算法中，常常需要顺序求解线性方程组 Ax = b。当矩阵 A 的少数元素发生微小变化形成新矩阵 A 时，就需要求解新的方程组。此时，若已知原矩阵 A 的逆矩阵 A⁻¹，直接计算新矩阵 A 的逆矩阵 A*⁻¹ 会更高效。许多控制算法、在线决策和优化问题都依赖于逆矩阵 A⁻¹ 的快速计算。目前，计算逆矩阵 A⁻¹ 主要有三种常用的矩阵分解方法：LU 分解、QR 分解和奇异值分解（SVD）。

1.1 LU 分解

LU 分解是对线性方程组 Ax = b 应用高斯消元法后得到的一种计算形式，它将矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU。具体计算逆矩阵 A⁻¹ 的步骤如下：
1. 求解矩阵方程 LY = I ：通过求解线性方程组，从顶部到底部依次代入计算矩阵 Y 的各列。由于 L 是下三角矩阵，无需计算其逆矩阵 L⁻¹。
2. 求解线性矩阵方程 U.X = Y ：利用步骤 1 得到的矩阵 Y ，从底部到顶部依次代入计算矩阵 X 的各列。同样，由于 U 是上三角矩阵，无需计算其逆矩阵 U⁻¹。最终得到的矩阵 X 即为原矩阵 A 的逆矩阵 A⁻¹。

1.2 QR 分解

QR 分解将矩阵 A 表示为正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R 的乘积，即 A = Q.R。根据正交矩阵的性质 Q⁻¹ = Qᵀ，计算逆矩阵 A⁻¹ 时只需计算 R⁻¹。通过求解线性矩阵系统 R.Y = I，从底部到顶部依次代入计算矩阵 Y 的各列，得到 R⁻¹。最后，将 R⁻