2、重温切希诺插值方法：原理、实现与应用

重温切希诺插值方法：原理、实现与应用

1. 引言

切希诺多项式展开方法是泰勒多项式展开方法的推广，它不仅能预测函数本身的值，还能预测函数的高阶导数。尽管该技术早在1956年就被提出，但之后很长时间被人们遗忘。1975年，有人尝试将切希诺耦合关系应用于求解椭圆空间相关的微分方程，但结果显示其空间离散化的精度不如有限元方法。

本文提出将切希诺耦合关系应用于基本插值问题，作为现有单变量插值方案（如三次样条方法）的替代方法。插值问题是指在仅知道函数 $f(x)$ 在列表横坐标 ${x_{m + 1/2} ; m = 0, M}$ 处的值的情况下，计算连续函数 $f(x)$ 在特定点 $\xi$ 处的泛函 $I{ f (x); \xi}$。同时，我们引入了插值因子（也称为terp因子）的概念，它对于相对于少量自变量对大型数据库进行插值非常有用。切希诺多项式展开方法是反应堆物理代码DRAGON中用于进行截面插值的多参数反应堆数据库系统的核心组件。我们将证明切希诺多项式展开理论是计算此类插值因子的一个有吸引力的选择，并提供用于执行此任务的示例Matlab脚本。

2. 切希诺多项式展开理论

多项式展开理论首先应用于图1所示的一维域。在这个域上定义了一个连续函数 $f(x)$，并且已知它在特定横坐标点 $x_{m + 1/2}$ 处的值。

$f(x)$ 在 $x = x_{m - 1/2}$ 附近的 $(J + 1)$ 阶泰勒级数展开式为：
[
f_{m + 1/2} = \sum_{j = 0}^{J} (\Delta x_m)^j M^{(j)} {m - 1/2} + O((\Delta x_m)^{J + 1}) <