1、猜测函数和延拓方法对MATLAB BVP求解器运行时间的影响

猜测函数和延拓方法对MATLAB BVP求解器运行时间的影响

1. 引言

MATLAB计算环境在工业、研究和教育领域被广泛使用，为引入边界值问题（BVP）软件提供了理想平台。Kierzenka和Shampine开发了核心BVP常微分方程（ODE）软件bvp4c，用于求解一类两点边界值问题，形式如下：
[
\begin{cases}
y’(x) = f(x, y(x), p) \
g(x_L, x_R, y(x_L), y(x_R), p) = 0
\end{cases}
]
其中，$f$ 是关于 $y$ 的连续且满足Lipschitz条件的函数，$p$ 是未知参数向量。

若信息在多个点指定，问题就成为边界值问题，最常见的是两点边界值问题。bvp4c是基于残差控制的自适应网格求解器，能在迭代过程中调整网格点，提高计算和存储效率，并控制网格分辨率。

求解BVP的难点在于提供初始估计，初始猜测对求解结果和运行时间有很大影响。若初始猜测不佳，求解器可能失败，此时可使用延拓方法，该方法虽会增加运行时间，但好的猜测值能减少计算时间。

2. 初始设置

求解问题的第一步是将其以软件能理解的方式定义。bvp4c框架使用多个子函数，方便用户输入ODE函数、初始数据和参数。以稳态Brillouin方程为例，泵浦光强度 $I_p$ 和斯托克斯光强度 $I_s$ 的耦合ODE方程为：
[
\begin{cases}
\frac{dI_p}{dz} = -g_B I_p I_s - \alpha I_p \
\frac{dI_s}{dz} = g_B I_