24、基于增量拟合方案的多级代数不变量提取

基于增量拟合方案的多级代数不变量提取

在形状识别领域，传统的隐式多项式（IP）不变量提取方法通常采用固定阶数的拟合方案，而不考虑形状的复杂性。这种方法在处理包含各种形状的大型数据库时，会影响识别的准确性。为了解决这一问题，我们提出了一种基于增量拟合方案的多级代数不变量提取方法。

隐式多项式拟合的增量方案

• 隐式多项式 ：IP是一个以多元多项式形式定义的隐式函数。例如，n阶的3D IP可表示为：
  [
  f_n(x) = \sum_{0\leq i,j,k;i+j+k\leq n} a_{ijk}x^iy^jz^k = \sum_{l} a_lm_l(x)
  ]
  其中，(x = (x, y, z)) 是一个3D数据点，(m_l(x) = x^iy^jz^k) 是单项式函数，(a_l) 是伴随系数。指数 (l) 和 ({i, j, k}) 之间的关系由逆字典序确定。
• 最小二乘法拟合 ：构建IP模型通常被视为一个回归问题，即从离散数据中逼近一个多元IP函数。这通常可以表述为求解以下最小化问题：
  [
  \min_{f} \sum_{i=1}^{N} dist(b_i, f(x_i))
  ]
  其中，(dist(\cdot, \cdot)) 是一个距离函数，常见的选择是L2范数：
  [
  dist(b_i, f(x)) = (b_i - f(x_i))^2
  ]
  (b_i) 是隐式多项式拟合的偏移项，可以通过不同的优化约束方法（如3L方法）来确定。
  将式（1）代入式（3），我们得到要最小化