5、基于同源性的抗量子密码系统与陈识别协议的全密码分析

基于同源性的抗量子密码系统与陈识别协议的全密码分析

1. 基于同源性的抗量子密码系统

在密码学领域，基于超奇异椭圆曲线同源性的密码系统正逐渐成为研究热点，其有望抵抗量子计算机的攻击。

1.1 底层假设的难度

• 已知SSI（超奇异同源性问题）求解器时，解决SSCDH（超奇异计算Diffie - Hellman问题）很容易；反之亦然。但目前没有已知的反向归约，并且离散对数和Diffie - Hellman的等价性问题在某些情况下尚未完全解决，因此可以合理假设SSI、SSCDH和SSDDH（超奇异判定Diffie - Hellman问题）的等价性问题至少难以解决。为便于讨论，假定SSI与SSDDH等价。
• 1999年，Galbraith首次考虑了计算同源超奇异曲线之间同源性的问题。基于超奇异同源图的第一个已发表的密码原语是Charles等人提出的哈希函数，至今未被破解。一般而言，寻找超奇异曲线之间同源性的最快已知算法时间复杂度为$O(\sqrt{p} \log^2 p)$，但我们的问题更特殊，因为同源性的度是预先已知且平滑的。由于我们是首次提出使用这种类型的同源性，目前没有相关文献探讨我们所提出的特殊形式同源性的安全性。

1.2 对密码系统的攻击

• 经典攻击 ：存在一种比穷举搜索更优的指数攻击。攻击者为了找到$E$和$E_A$之间度为$\ell_A^{e_A}$的同源性，会构建两棵树，分别包含与$E$和$E_A$通过度为$\ell_A^{e_A/2}$的同源性相关的所有曲线。构建完成后，攻击者尝试找到同时位于两棵树中的曲线。这在复杂度理论中被