[BZOJ]2131 免费的馅饼 DP + 绝对值转化

最新推荐文章于 2019-08-24 18:40:18 发布

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#绝对值转化

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本文详细解析了一道名为“免费的馅饼”的算法题目，该题通过动态规划求解游戏者在限定条件下获取馅饼的最大得分。文章介绍了如何将绝对值不等式转化为两个线性不等式，并通过二维坐标系进行理解，最终利用离散化和树状数组实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

2131: 免费的馅饼

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB
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Description

Input

第一行是用空格隔开的二个正整数，分别给出了舞台的宽度W（1到10^8之间）和馅饼的个数n（1到10^5）。　　接下来n行，每一行给出了一块馅饼的信息。由三个正整数组成，分别表示了每个馅饼落到舞台上的时刻t[i]（1到10^8秒），掉到舞台上的格子的编号p[i]（1和w之间），以及分值v[i]（1到1000之间）。游戏开始时刻为0。输入文件中同一行相邻两项之间用一个空格隔开。输入数据中可能存在两个馅饼的t[i]和p[i]都一样。

Output

一个数，表示游戏者获得的最大总得分。

Sample Input

3 4
1 2 3
5 2 3
6 3 4
1 1 5

Sample Output

12
【数据规模】
对于100%的数据，1<=w,t[i]<=10^8,1<=n<=100000。

HINT

Source

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这道题的思路并不难，但是有一点蛮难想到，主要是第一次见。

转移的条件是 ti>tj且|pi−pj|<=2∗(ti−tj)
这个条件等价于 pi−pj<=2∗(ti−tj)且pj−pi<=2∗(ti−tj)
（推出这一步是关键）
移一下就是
2ti+pi>=2tj+pj和2ti−pi>=2tj−pj
然后就是说构成一个(2*t+p,2*t-p)的坐标系
然后维护左下角点的最大值就可以了

以上来自xiaoyimi的博客，讲得非常清楚. 这给我提供一个思路就是: 1. 遇到绝对值的题，往往题目的考察就在于绝对值的转化 2. 绝对值的转化有时候可以直接转化成两个方程来做. 3. 要是有两个方程的话可以看做二维坐标系来想。 4.有的时候想不出DP思路来就先立状态转移，再慢慢考虑该如何转移，不要空想.

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int tot, mm, n, ans;
int c[maxn], f[maxn];
struct temp{ int y, id;}b[maxn];
struct point{ int x, y, v;}a[maxn];
inline bool cmp1(point x, point y){
    return (x.x == y.x) ? x.y < y.y : x.x < y.x;
}
inline bool cmp2(temp x, temp y){
    return x.y < y.y;
}
inline void modify(int x, int val){
    for(int i = x; i <= tot; i += i & -i) c[i] = max(c[i], val);
}
inline int query(int x){
    int tmp = 0;
    for(int i = x; i; i -= i & -i) tmp  = max(tmp, c[i]);
    return tmp;
}
int main(){
    scanf("%d%d", &mm, &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        int t, p;
        scanf("%d%d%d", &t, &p, &a[i].v);
        a[i].x = 2 * t + p;
        a[i].y = 2 * t - p;
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) b[i].y = a[i].y, b[i].id = i;
    sort(b + 1, b + n + 1, cmp2);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) //离散化 
        if(b[i].y != b[i - 1].y || i == 1) a[b[i].id].y = ++tot;
        else a[b[i].id].y = tot;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        f[i] = query(a[i].y) + a[i].v; //找坐标系上x比自己小的， y最大的点来转移 
        modify(a[i].y, f[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ans = max(f[i], ans);
    printf("%d\n", ans);
}