关于平面图到对偶图的转化

闲话

哇对偶图真的是个好东西， 昨天考NOI2010的时候前两道很快做完了， 看着t3发呆了1个多小时， 啥也想不出来. 看着网格图突然想到听说bzoj1001狼抓兔子可以用对偶图求解. 对偶图是啥我也不知道， 听说把面看成点， 连边后跑一边最短路就可以了. 但是当时想到这个突然发现自己不会建对偶图， 看时间还有一个多小时， 于是建了8种可能的图， 每一个都跑一遍spfa， 发现有一个可以过样例， 手动模拟一下觉得这种建图没错， 就交上去了. 没想到居然还对了， 哈哈NOI2010我居然290(spfa被卡了一个点)， 心中狂喜， 但是一想到t1做过， t3蒙对也就不敢说什么了， 而且这是10年的题了， 时代在进步啊…

什么是平面图?

平面图的定义就是所有的边只在顶点处相交， 这里就是一个例子.

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你看， 边与边之间没有相交吧~.
其实这是论文PPT的图， 本人画的太丑就不挂出来了.

So…对偶图?

对于每一个平面图， 都有与其相对应的对偶图. 我们假设上面的例图是图G， 与其对应的对偶图G*， 那么对于G*来说， G*上面的每一个点， 对应的是G里面的每一个面. 比如说下面就是G*.

上面的点就是对偶图G里的点.
那么关于对偶图G*里的边呢 ? 对于G中本来的每条边e， 他是两个面(比如说面f1和f2)的交边， 那么在对偶图里， 我们对这两个面(f1， f2)所映射在G*里的点连线(f1* 连向f2*). 如果f1 == f2(比如说G中5， 6这条边， 边的两侧都是同一个面， 那我们就建一条回边.
图就长这样(回边在5， 6那里).

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这个就是对偶图了.

平面图与对偶图之间的关系

1.G*中的环与G中的割一一对应.(割就是一些边， 如果割掉这些边使图分成两个互不连通的子图的话， 就称之为割).
举例: 1*-2*-3*-4*这个G*里的环， 对应的是G中1-3， 2-3， 3-4， 3-5这个割.
TIPS:这个性质对于平面图的最小割有巨大的作用.

2.G的面数等于G*的点数， G与G*的边数相同.

The END

希望能对大家有所帮助. 平面图转对偶图在平面图网络流问题里面作用巨大. 最小割转对偶图最短路问题解法:Click Here.