bzoj1010玩具装箱toy

很容易地，我们首先得到:

$$s[x]=min\lbrace s[k]+(p[x]-p[k]+x-k-L-1)^2\rbrace$$
其中,$p[n]=\sum_{i=1}^n{C[i]}$
这样直接计算是会TLE的: $O(n^2)$
下面我们考虑优化:
我们记$f[x]=p[x]+x,c=L+1$,那么方程简化为: $$s[x]=min\lbrace s[k]+(f[x]-f[k]-c)^2\rbrace$$
先看下决策单调性
设$k>j$且有 $$s[k]+(f[x]-f(k)-c)^2<s[j]+(f[x]-f[j]-c)^2\tag1$$
对于以后的决策,设 $y>x$ 并记$f[y]=f[x]+\Delta$ 显然$\Delta>0$
若我们的方程有决策单调性那么我们就有: $$s[k]+(f[y]-f[k]-c)^2<s[j]+(f[y]-f[j]-c)^2$$
也即 $$s[k]+(f[x]+\Delta-f[k]-c)^2<s[j]+(f[x]+\Delta-f[j]+c)^2$$
$s[k]+(f[x]-f[k]-c)^2+2(f[x]-f[k]-c)\Delta$$s[j]+(f[x]-f[j]-c)^2+2(f[x]-f[j]-c)\Delta$
我们考虑到两个不等式: $2(f[x]-f[k]-c)\Delta<2(f[x]-f[j]-c)\Delta$ 也即 $f[k]>f[j]$
$$s[k]+(f[x]-f[x]-c)^2<s[j]+(f[x]-f[j]-c)^2$$
两式相加即得我们迫切想看到的决策单调性
即决策点只向右移动.
我们只有决策单调性是不够的,我们还可以从$(1)$中获取更多信息
我们将$(1)$打开,并将所有有关$j,k$的项移到一边就有 $$\frac{s[k]-2cf[k]+f[k]^2-(s[j]-2cf[j]+f[j]^2)}{f[k]-f[j]}<2f[x]$$
嘿!这是什么,斜率?对的.
我们可以以$(f[x],s[x]-2cf[x]+f[x]^2)$为点x的坐标画出散点图,再从中找出它的右下凸包,我们仅考虑也仅维护这个凸包,当我们要算$s[y]$时,我们就找凸包上的一个点t,使得它与前面一个点连线的斜率小于$2f[y]$与后面一个点的斜率大于$2f[y]$ (也就是切线)那么这个点就是最优决策点.我们可以二分做到(凸包上斜率递增).
算完$s[y]$后,我们要将它插入凸包中(它一定在凸包中)这又可以在$O(logn)$的时间内完成.
这样,我们对每个点用$O(logn)$时间搜索最优决策点,用$O(logn)$时间插入新点
总用时$O(nlogn)$对$n<50001$绰绰有余.