线性代数之七：矩阵的微分

向量与矩阵微分基础

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1 简介

对于可导实函数f在某点x处的导数，有

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
从形式上，则有：
$$f'(x) \cdot h \approx {f(x+h)-f(x)}$$
本文将对向量和矩阵微分进行基础性的介绍，补充机器学习中所需要的微分计算基础。

2 $f:R^n \to R$函数的微分

2.1 微分形式

对于从向量到标量实数的映射$f:R^n \to R$

若$f$为可微的，则存在$x \in R^n$ 以及极小值$h \in R^n$，使得

$$\langle d_xf,h \rangle = f(x+h)- f(x)+ o_{h \to 0}(h)$$
其中$o_{h \to 0}(h)$为$h$的高阶无穷小量。

示例：对于$R^2\to R$的函数$f([x_1,x_2]^T)=3x_1 + x_2^2$，对于固定点[a,b]和无穷小量[h1,h2]，有：

$$f([a+h_1,b+h_2]^T) = f([a,b]^T)+3h_1 + 2bh_2 +h_2^2$$
因此可得：
$$\langle d_xf,h \rangle = d_xf(h)=3h_1 + 2bh_2$$
进而可得： $$d_{[a,b]}f=[3,2b]^T$$

2.2 梯度形式

$$\langle \triangledown_xf,h \rangle=f(x+h)-f(x)+o_{h \to 0}(h)$$
对于2.1中的例子，同样的可导出 $$\triangledown_{[a,b]}f=[3,2b]^T$$

2.3 偏导数

定义：

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,..,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},x_n)-f(x_1,...x_n)}{h}$$

针对2.1中的例子有：

$$\triangledown_{[a,b]}f = \left( \matrix { \frac{\partial f}{\partial x_1}([a,b]) \cr \frac{\partial f}{\partial x_2}([a,b]) }\right) = [3,2b]^T$$

3 推广到$f:R^{n*m} \to R$

可以将$R^{n*m}$的矩阵写作$R^{nm}$的一维向量，然后应用第2节中的公式，因此有：

$$\triangledown_xf=\left[\matrix{ \frac{\partial f}{\partial x_1}\cr \vdots \cr \frac{\partial f}{\partial x_{nm}}\cr }\right]$$
对其进行重排为n行m列的矩阵：
$$\triangledown_xf=\left[\matrix{ \frac{\partial f}{\partial x_{11}} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_{1m}} \cr \ddots \cr \frac{\partial f}{\partial x_{n1}} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_{nm}}\cr }\right]$$

4 推广到$f:R^{n} \to R^m$，Jacobian

对于$x \in R^n$函数$f(x)=\left( \matrix { f_1(x) \cr \vdots\cr f_m(x) } \right)$，定义函数的导数为Jacobian矩阵：

$$J(x)=\left[\matrix{ \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \cr }\right]$$

当m=1时，梯度计算如第2节中的方法。
当m=2时，对于函数$f([y_1,y_2,y_3]^T)=[y_1+2y_2+3y_3,y_1y_2y_3]^T$有：

$$J(y)=\left[\matrix{ 1& 2& 3\cr y_2y_3 & y_1y_3 & y_1y_2 }\right]$$

6 推广到$f:R^{n*p} \to R^m$

函数的导数矩阵J为m*n*p的三维矩阵，有

$$J_{ijk} = \frac{\partial f_i}{\partial x_{jk}} i=1..m,j=1..n,k=1..p$$

7 链式法则

对于函数$f:R^n \to R^m$与$g:R^p \to R^n$，可以计算$h=f(g(y))$复合函数的导数。使用链式法则，借助于Jacobian矩阵，有

$$J_h(y)=J_f(g(y)) \cdot J_g(y)$$

下面以函数$f([x_1,x_2]^T)=3x_1 + x_2^2$与$g([y_1,y_2,y_3]^T)=[y_1+2y_2+3y_3,y_1y_2y_3]^T$为例计算f(g(y))的梯度。

分别计算两个函数的梯度：

$$J_f(x)=\triangledown_x f^T=(\matrix {3 & 2x_2})$$
$$J_g(y)=\left[\matrix{ 1& 2& 3\cr y_2y_3 & y_1y_3 & y_1y_2 }\right]$$

$J_h(y) = [3,2(y_1y_2y_3)] \cdot \left[\matrix{ 1& 2& 3\cr y_2y_3 & y_1y_3 & y_1y_2 }\right] =[3+2y_1y_2^2y_3^2,6+2y_2y_1^2y_3^2,9+2y_3y_1^2y_2^2]^T$

8 常见一元函数导数

线性法则：$(af + bg)'=af'+bg'$
乘法定则：$(fg)'=fg'+f'g$
除法定则：$(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$
倒数定则：$(\frac{1}{g})'=-\frac{g'}{g^2}$
复合函数：$f'(g(x))=f'(g(x))g'(x)$

代数函数的导数：
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$|x|' = sgn x$

指对数函数的导数：
$(e^x)'=e^x$
$(a^x)'=a^xlna$
$(lnx)'=x^{-1}$
$log_ax=(xlna)^{-1}$

三角函数的导数：
$(sinx)' = cos\,x$
$(cosx)'= -sin\,x$
$(tanx)'=sec^2\,x$
$(cotx)'=-csc^2x$
$(secx)'=sec\,x\,tan\,x$
$(cscx)'=-csc\,x\,cot\,x$

反三函数的导数：
$(arcsin\,x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(arccos\,x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(arctan\,x)=\frac{1}{1+x^2}$
$(arccot\,x)=-\frac{1}{1+x^2}$
$(arcsec\,x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(arccsc\,x)'=-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

双曲函数的导数

其他函数的导数
$sigmod'(x) = sigmod(x)[1 - sigmod(x)]$