线性代数之二：行列式

2.1 矩阵的行列式

2.1.1 行列式的记号与值

我们用两条竖线间包括的阵列表示给定矩阵的行列式,记作$det(A)$

$$det(A)=\left|\matrix{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \cr \vdots \cr a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \cr }\right|$$

2.1.2 子式与余子式

定义：令$A=(a_{ij})$为n阶方阵，并用$M_{ij}$表示删除A中包含$a_{ij}$的行和列得到的n-1阶的矩阵，矩阵$M_{ij}$的行列式称为$a_{ij}$的子式(minor)。

定义：定义$a_{ij}$的余子式(cofactor)为$A_{ij}=(-1)^{i+j}det(M_{ij})$

因此行列式可以用余子式展开递归定义如下：

$$det(A)=\cases{ a_{11} & \text{当 } n = 1\cr a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n} & \text{当 } n > 1 }$$
定理：对于方阵A，det(A)可表示为A的任何行或列的余子式展开，即 $$det(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}$$

定理：若A为n阶方阵，则$det(A^T)=det(A)$
定理：若A为n阶三角矩阵，则A的行列式等于A的对角线元素的乘积
定理：若A为n阶矩阵

• 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0
• 若A有两行或两列相等，或成比例，则det(A)=0

2.1.3 使用numpy计算行列式

import numpy as np
A = np.array([[1,2],[3,4]])
print np.linalg.det(A)

2.2 行列式的性质

引理：令A为n阶矩阵，若$A_{jk}$表示$a_{jk}$的余子式，其中k=1,…,n则：

$$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}=\cases{ det(A) & \text{当 } i = j\cr 0 & \text{当 } i \ne j }$$

对行或列运算对行列式的作用总结如下：

• 交换两行或列，改变行列式的符号
• 矩阵某行或列乘以标量的作用是将行列式乘以这个标量
• 将某行或列的倍数加到其他行或列不改变行列式的值

这里我们得到另一种计算det(A)的方法，即通过第I和III类行列变换，将A简化为三角矩阵，则对角线元素的乘积即为det(A)的值，而正负号取为$(-1)^k$，k为行或列变换的次数。

定理：n阶矩阵A是奇异的充分条件是$det(A)=0$
定理：若A和B均为n阶矩阵，则$det(AB)=det(A)det(B)$

2.3 克拉默法则

2.3.1 伴随矩阵

若A为n阶矩阵，定义A的伴随矩阵为adj A，则

$$adj A=\left[\matrix{ A_{11} & A_{21} &... & A_{n1} \cr A_{12} & A_{22} &... & A_{n2} \cr \vdots \cr A_{1n} & A_{2n} &... & A_{nn} \cr }\right]$$
为构造伴随矩阵，只需要将A的元素用它们的余子式替换，然后将结果矩阵转置。

下面给出一种计算矩阵逆的方法：若A是非奇异的，则有

$$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adjA$$

2.3.2 克拉默法则

定理：令A为n阶矩阵，令$A_i$为矩阵A中第i列用b替换得到的矩阵，若x为方程组Ax=b的惟一解，则：

$$x_i=\frac{det(A_i)}{det(A)},i=1,2,...n$$

克拉默法则给出了一个将n阶线性方程组的解用行列式表示的便利方法。不过其计算量要比消元法要大。

2.3.3 向量积

在三维空间中，向量x,y的向量积可写为行列式：

$$x*y=\left|\matrix{ i&j&k\cr x_1&x_2&x_3\cr y_1&y_2&y_3\cr }\right|$$
在牛顿力学中，向量积用于定义副法线方向。比方x乘y,右手四指并起来伸直指向x方向,然后再朝y方向弯起来,这时拇指所指方向就是向量积方向,向量积方向永远x,y垂直。