线性代数之三：向量空间

3.1 向量空间定义

令V为一定义了加法和标量乘法的集合。对V中的任意元素x,y，x+y仍在V中。对于任意标量c，积cx仍在V中。同时若V还满足下面的公理，则V称为向量空间。

• 对V中任意x和y,x+y=y+x
• 对V中任意x,y和z,(x+y)+z = x+(y+z)
• V中存在一个元素0，满足对任意的x都有x+0=x
• V中任意元素x，都存在一个元素-x，满足x+(-x)=0
• 对任意标量c，都有c(x+y)=cx+cy
• 对任意标量a,b都有(a+b)x = ax + bx
• 对任意标量a,b都有(ab)x = a(bx)
• V中任意元素x，都有1*x = x

3.2 子空间

子空间：若S为向量空间V的非空子集，且S满足对加法与标量乘法封闭，则称S为V的子空间。

线性组合：令$v_i$为向量空间V中的向量，$c_i$为标量。则$c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n$称为向量$(v_1,...,v_n)$的线性组合。
张成：向量$(v_1,...,v_n)$的所有线性组合构成的集合称为$(v_1,...,v_n)$的张成(Span)，记作$Span(v_1,...,v_n)$。可证$Span(v_1,...,v_n)$为向量空间V的子空间。
张集：若$Span(v_1,...,v_n)=V$，此时我们说$\{v_1,...,v_n\}$是V的一个张集。此时V中的每个向量均可写作$v_1,...,v_n$的线性组合。

3.3 线性无关

线性无关：若向量空间V中的向量$v_1,...,v_n$满足$c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n=0$，当且仅当$c_i=0$，则称它们是线性无关的。
线性相关：若存在不全为零的标量$c_i$，使得向量空间V中的向量$v_1,...,v_n$满足$c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n=0$，则称它们是线性相关的。
两个向量线性相关的几何解释是二者方向相同

线性无关与非奇异矩阵的关系：向量$v_1,...,v_n$是线性无关的充要条件是由$v_1,...,v_n$构成的矩阵是非奇异的。

3.4 基与维数

基的定义：若$v_1,...,v_n$为V的基，则$v_1,...,v_n$线性无关，且$v_1,...,v_n$张成V。将V的基的元素个数称为V的维数。
定理：若$\{v_1,...,v_n\}$为向量空间V的张集，则V中任何m(m>n)个向量必线性相关。
推论：若$[v_1,...,v_n]$和$[u_1,...,u_m]$均为向量空间V的基，则n=m
定理：若V的维数为n，则任意n个线性无关的向量张成V。同时任何张成V的n个向量必是线性无关的。

3.5 基变换

在向量空间V中，向量v默认是由标准基来进行表示的，标准基是一组单位向量，每个向量只有一个位置的元素为1，其他位置均为0，按1的所在的位置记做$e_1,e_2,...,e_n$。

令V为一向量空间，且令E=[$v_1,...,v_n$]为V的一组有序基。则V中任一元素v可写为$v=c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n$，因此可以将每个向量v惟一的对应于一个向量$c=(c_1,c_2,...,c_n)^T$。采用这种方法定义的向量$c$为v相应于E的坐标向量，记作$[v]_E$，$c_i$称为v相对于E的坐标。

例如向量$(2,2)$可写为$2e_1+2e_2$，如果由基(2,0),(0,-2)来表示，可表示为(1,-1)，可得迁移矩阵$\left[\matrix{2&0\cr 0&-2\cr}\right]$。

令E=[$v_1,...,v_n$],F=[$u_1,...,u_n$]，令$v_i$的矩阵记作V，$u_i$的矩阵记作U，则V和U分别为相对于标准基的转移矩阵，则由E到F的($[v]_E$变换为$[v]_F$)转移矩阵为$U^{-1}V$。

证明如下：因为一个标准基下的向量v可由E和F分别表示，即$v=V[v]_E=U[v]_F$，因此$[v]_F = U^{-1} V [v]_E$，即证由E到F的迁移矩阵为$U^{-1}V$。

3.6 行空间与列空间

若A为m*n的矩阵，A的每一行可看作一个向量，则称A的m个行的向量为A的行向量，同样的n个列的向量为A的列向量。
行空间与列空间：如果A为m*n矩阵，由A的行向量张成的子空间称为A的行空间，由A的列向量张成的子空间称为A的列空间

定理：两个行等价的矩阵有相同的行空间

秩： A的行空间的维数称为A的秩(rank)

定理:线性方程组相容性定理，一个线性方程组Ax=b相容的充要条件是b在A的列空间中。
定理:令A为m*n矩阵，当且仅当A的列向量张成$R^m$时，对每个$b\in R^m$，线性方程组Ax=b是相容的，当且仅当A的列向量线性无关时，对每个$b\in R^m$，方程组Ax=b至多有一个解。
推论： 当且仅当n阶矩阵A的列向量是$R^n$的基时，A是非奇异的。

矩阵的零空间：若A为m*n矩阵，令N(A)为所有齐次方程组Ax=0的解的集合，则:

$$N(A) = \{x \in R^n |Ax=0\}$$
可证N(A)为$R^n$的子空间，我们称N(A)为A的零空间(nullspace)，零空间的维数称为矩阵的零度，

秩-零度定理若A为m*n的矩阵，则A的秩与A的零度的和为n
定理：若A为m*n矩阵，则A的列空间的维数等于A的行空间的维数，即dim(A行空间)=dim(A列空间)

3.7 使用numpy计算矩阵的秩

import numpy as np
A = np.array([[1,2],
              [3,4],
              [5,6]])
print np.ndim(A) #2