codeforces 985C3 Encryption (hard)

最新推荐文章于 2025-06-27 09:20:37 发布

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本文探讨了解决大规模数据下求最小值问题的一种高效算法。通过动态规划（DP）结合树状数组进行维度压缩，实现对复杂度的有效优化。文章详细介绍了如何利用两个树状数组分别维护小于和大于特定值的前缀和，从而快速计算最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

跟前面的两道题不同的就是数据变大了，并且变成了求最小值，首先考虑dp

设f[i][j]表示前i个位置里分了j份的最小值。sum[i]表示到i为止val[i]的和 mod p的值。

$f[i][j]=max(f[k][j-1]+(sum[i]-sum[k]) \ mod \ p)$ $(1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant k< i , 1\leqslant j\leqslant K)$

但是这样会超时，所以考虑优化掉一维，对于式子分析，可以发现后面的 mod p有两种情况，拆开式子分别为

$sum[i]\geqslant sum[k]$

$f[i][j]=max(f[k][j-1]-sum[k]+sum[i] )$

$sum[i]<sum[k]$

$f[i][j]=max(f[k][j-1]-sum[k]+p+sum[i])$

这个可以用两个树状数组维护，每次dp的时候，

当前的j可以由≤s[i]的第一个树状数组和＞s[i]的第二个树状数组的最小值加上自己的s[i]。

设树状数组c[0/1][pos][vv]，pos表示j的位置，vv表示小于或者大于s[i]，因为第二个树状数组需要大于s[i]的和，就是后缀和

所以将[i]变为p-s[i]改为求前缀和。

还有解释在代码里

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,k,p,dp[105],val[500005],s[500005],c[2][105][105];
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void add(int ops,int pos,int xb,int v)
{
	xb++;//因为有0。 
	while(xb<=p+1)//范围为0~p，因为有两种，s[i],p-s[i]。 
	{
		c[ops][pos][xb]=min(c[ops][pos][xb],v);
		xb+=lowbit(xb);
	}
}
int query(int ops,int pos,int xb)
{
	int ret=0x3f3f3f3f;xb++;
	while(xb)
	{
		ret=min(ret,c[ops][pos][xb]);
		xb-=lowbit(xb);
	}
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&val[i]),s[i]=(s[i-1]+val[i])%p;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		for(int j=0;j<=p+1;j++)
		{
			c[0][i][j]=c[1][i][j]=0x3f3f3f3f;
		}
	}
	add(0,0,0,0);//这行没啥用 
	add(1,0,0,0);//这两行相当于初值。 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=min(j,k);j++)
		{
			dp[j]=min(query(0,j-1,s[i]),query(1,j-1,p-s[i]))+s[i];//当前j更新可以从前面所有i。所以下标是这样的,因为要求前缀和，而另一种需要后缀，所以这样 
		}
		for(int j=1;j<=min(i,k);j++)
		{
			if(dp[j]==0x3f3f3f3f)continue;
			add(0,j,s[i],dp[j]-s[i]);
			add(1,j,p-s[i],dp[j]-s[i]+p);
		}
	}
	printf("%d\n",dp[k]);
	return 0;
}