3D数学基础：向量运算

向量的定义

从几何上讲，向量就是有方向，有大小的有向线段。

向量的运算

负向量

要得到任意维向量的负向量，只需要简单的将向量每个分量都变负即可。数学表达式：
$$\begin{array}{c}-\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ ...\\ x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-a\\ -b\\ ...\\ -x\end{array}\right]\end{array}$$

向量大小

向量大小也常被称为向量的长度或模。
也就是向量各分量的平方和的平方根。计算公式如下：
$$\Vert v\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n{v}_i^2}$$

向量与标量的乘法

标量与向量的乘法非常直接，将向量的每个分量都与标量相乘即可。标量与向量乘的顺序并不重要，但经常把标量写在左边，数学表达式为：
$$\begin{array}{c}k\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ..\\ a_n\end{array}\right]k=\left[\begin{array}{c}k{a}_1\\ k{a}_2\\ ...\\ k{a}_n\end{array}\right]\end{array}$$

标准化向量

对任意非零向量$v$，都能计算出一个和$v$方向相同的单位向量$v_{norm}$。这个过程就称为向量的标准化，要标准化向量，将向量除以它的模（大小）即可。
$$v_{norm}=\frac{v}{\Vert v\Vert }，v\ne 0$$
零向量不能被标准化。数学上是不允许的，因为将导致除零。几何上也没有意义，因为零向量没有方向。

向量的加法和减法

如果两个向量的维度相同，那么它们能相加，或相减。结果向量的维度与原向量相同。
向量加法的运算法则很简单，两个向量相加，将对应分量相加即可。
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\\ ...\\ a_n+b_n\end{array}\right]\end{array}$$
减法解释为加负向量：$a-b=a+(-b)$

一个点到另一个点的向量（减法的应用）

计算一个点到另一个点的位移是一种非常普遍的需求，可以使用向量减法来解决这个问题。
图1展示了怎样用$b-a$计算$a$到$b$的位移向量。

距离公式

该公式用来计算两点之间的距离。
首先定义距离为两点之间线段的长度。因为向量是有向线段，所以从几何意义上说，两点之间的距离等于从一个点到另一个点的向量的长度。
先计算从a到b的向量d，在3D的情况下：
$$\begin{array}{c}d=b-a=\left[\begin{array}{c}{b}_x-a_x\\ b_y-a_y\\ b_z-a_z\end{array}\right]\end{array}$$
a到b的距离等于向量d的长度：
$$距离(a,b)=\Vert d\Vert =\sqrt{(b_x-a_x{)}^2+(b_y-a_y{)}^2+(b_z-a_z{)}^2}$$
这样就推导出了3D距离公式，2D距离公式也很好推导出来：
$$距离(a,b)=\Vert b-a\Vert =\sqrt{(b_x-a_x{)}^2+(b_y-a_y{)}^2}$$

向量点乘

向量点乘就是对应分量乘积的和，其结果是个分量。向量点乘不能省略点乘号。
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right]=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n\end{array}$$
用连加符号简写：
$$a\cdot b=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

一般来说，点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，两向量越相近。
点乘等于向量大小与向量夹角的cos值的积：
$$a\cdot b=\Vert a\Vert \Vert b\Vert \cos \theta$$
解得：
$$\theta =\arccos (\frac{a\cdot b}{\Vert a\Vert \Vert b\Vert })$$
如果a、b是单位向量，就可以避免上面公式的除法运算：
$$\theta =\arccos (a\cdot b)$$
如果不需要$\theta$的确切值而只需要a和b的夹角类型，可以只取用点乘结果的符号。

• 如果$a\cdot b$大于0，则$0°⩽\theta <90°$
• 如果$a\cdot b$等于0，则$\theta =90°$
• 如果$a\cdot b$小于0，则$90°<\theta ⩽180°$

注意：如果a、b任意一个向量为零，那么$a\cdot b$的结果也为零。因此点乘对零向量的解释是，零向量对任意其他向量都垂直。（当然，前面定义零向量平行于或垂直于任意向量那是不对的，因为零向量没有方向。）

向量的投影

给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量：$v_{\perp }$和$v_{\parallel }$。它们分别垂直和平行于n，并且满足$v=v_{\perp }+v_{\parallel }$。一般称平行分量$v_{\parallel }$为v在n上的投影。
我们使用点乘计算投影：

下面我们先求$v_{\parallel }$。观察到$v_{\parallel }$平行于n，它可以表示为：$v_{\parallel }=n\frac{\Vert v_{\parallel }\Vert }{\Vert n\Vert }$。
因此只要求出$v_{\parallel }$的模就能计算出该投影向量的值了。很幸运，三角分解能帮助我们求出该值：$\cos \theta =\frac{\Vert v_{\parallel }\Vert }{\Vert v\Vert }$
$\cos \theta \Vert v\Vert =\Vert v_{\parallel }\Vert$
将其代入之前的公式：
$$\begin{array}{c}{v}_{\parallel }=n\frac{\cos \theta \Vert v\Vert }{\Vert n\Vert }\\ =n\frac{\cos \theta \Vert v\Vert \Vert n\Vert }{\Vert n{\Vert }^2}\\ =n\frac{v\cdot n}{\Vert n{\Vert }^2}\end{array}$$
当然，如果是n单位向量，那除法就没必要了。
知道了$v_{\parallel }$，求$v_{\perp }$就很容易了，如下：
$$\begin{gathered} v_{\perp }+v_{\parallel }=v \\ {v}_{\perp }=v-v_{\parallel } \\ =v-n\frac{v\cdot n}{\Vert n{\Vert }^2} \end{gathered}$$

向量的叉乘

另一种向量乘法称作叉乘或叉积，尽可应用于3D向量。
术语叉乘来自记法$a\times b$中的叉号。
叉乘的公式为：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_1{z}_2-z_1{y}_2\\ z_1{x}_2-x_1{z}_2\\ x_1{y}_2-y_1{x}_2\end{array}\right]$$
当点乘和叉乘放在一起时，叉乘优先计算，因为点乘返回一个标量，同时标量和向量之间不能叉乘。
向量叉乘不满足交换律，满足反交换律：
$$a\times b=-(b\times a)$$
叉乘也不满足结合律。

几何解释

叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。

图中，向量a和b在一个平面中。向量$a\times b$指向该平面的正上方，垂直于a和b。
$a\times b$的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积，如下：
$$\Vert a\times b\Vert =\Vert a\Vert \Vert b\Vert \sin \theta$$
可以看到，$\Vert a\times b\Vert$也等于以a和b为两边的平行四边形的面积。

如果a、b平行或任意一个为0，则$a\times b=0$。叉乘对零向量的解释为：它平行于任意其他向量。（当然，前面定义零向量平行于或垂直于任意向量那是不对的，因为零向量没有方向。）

已经证明了$a\times b$垂直于a、b。但是垂直于a、b有两个方向。那$a\times b$指向哪个方向呢？通过将a的头和b的尾相接，并检查从a到b是顺时针还是逆时针，能够确定$a\times b$的方向。

• 左手坐标系：
  如果a和b呈顺时针，则$a\times b$指向您。
  如果a和b呈逆时针，则$a\times b$远离您。

• 右手坐标系：
  如果a和b呈顺时针，则$a\times b$远离您。
  如果a和b呈逆时针，则$a\times b$指向您。