cf 487C Prefix Product Sequence 构造+逆元

最新推荐文章于 2022-08-14 20:59:56 发布

原创最新推荐文章于 2022-08-14 20:59:56 发布 · 459 阅读

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本文探讨了如何通过数论知识解决序列构造问题，详细解释了逆元的求解方法及序列构造的逻辑，包括对特定数值范围内的序列构造策略和证明过程。

数论废 + 脑洞不够大 = = 一上午都没搞出这道题

学会了一个新的求逆元的姿势

inv[i] = (LL)(n - n / i) * inv[n % i] % n;

强迫症不行不行的 - - 看到数学题的结论不证明出来就非常不舒服 - - 高考后遗症吗 - -

按照想到的顺序：

1. 序列开头一定是1，结尾一定是n

2.1-4可以手动构造出来

3.大于4的合数一定无解

证明：

首先由2 可知 (a1a2a3...an-1) mod n == (n - 1)! mod n

设n为大于4的合数，设n最小的质因数为k

a）若n / k!=k 那么 n / k <n

所以 (n - 1)! mod n == (n - 1)! mod (n/k * k) == 0;

b) 若n/k == k 那么 n == k*k

因为 n > 4

所以 k > 2

所以 k * ( k - 1 ) != k

又因为 k * (k - 1) < n

所以 (n - 1)! mod ((k - 1) * k * k) == 0

所以 (n - 1)! mod n == (n - 1)! mod (k * k) = 0

综上所述 n为大于4的合数时， (a1a2a3...an-1) mod n ==0 衡成立，显然不符合题意

4.对于每个质数n 一定可以构造 prefix product sequence 为 [1,2,3,...n-1, 0]

方法：假设已经构造好 prefix product sequence 第i-1位为 i-1 那么要使第 i 位为 i

只需 a[i] 满足 ((i - 1)*a[i]) mod n == i

所以 a[i] = i * inv[i-1] mod n

(因为我比较愚钝 - - 所以纠结了半天这样 a[i] 不会重复吗- -，这里证明一下)

证明(反证法)：

假设 1 < i < j < n 且 ((i - 1)*a[i]) mod n == i 且 ((j - 1)*a[i]) mod n == j

则 (i - 1) * a[i] == i + k * n ( k = 0,1,2,3,....)

(j - 1) * a[i] == j + k1 * n ( k1 = 0,1,2,3,....)

两式相减

(j - i) * a[i] == j-i + (k1 - k) * n

移项

(j - i) * (a[i] - 1) == (k1 - k) * n

因为 i < j < n

所以 ( j - i ) < n

因为 n 为质数

所以 (a[i] - 1) mod n == 0

由本题题意 a[i] < n

所以 a[i] == 1

与 (i - 1) * a[i] mod n == i 矛盾

假设不成立，证明结束。

于是a[i] 不会重复，除了开头的1和结尾的n，与 2 - n-1 一定是一一对应的，也说明对于每个质数，这样一定能构造出符合题意的解

5.所以就简单了, n == 1-4 的手动输出一下， n为大于4的合数输出No ，质数则输出 i*inv[i-1] mod n

贴代码

#pragma warning(disable:4996)
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 100005;
int n,inv[maxn];
int main() {
	cin >> n;
	if (n <= 3) {
		cout << "YES" << endl;
		for (int i = 1;i <= n;i++) printf("%d\n", i);
	}
	else if(n==4) {
		printf("YES\n1\n3\n2\n4\n");
	}
	else {
		for (int i = 2;i*i <= n;i++) if (n%i == 0) {
			cout << "NO" << endl;
			return 0;
		}
		cout << "YES" << endl;
		cout << 1 << endl;
		inv[1] = 1;
		for (int i = 2;i < n;i++) {
			inv[i] = (LL)(n - n / i) * inv[n % i] % n;
			printf("%d\n", (1LL*i*inv[i - 1])%n);
		}
		cout << n << endl;
	}
	return 0;
}

滚去读初等数论了- -