在介绍逻辑回归前,我们需要先减少一个函数 sigmoid
σ ( z ) = 1 1 + e − z \sigma(z) = \frac {1}{1+e^{-z}} σ(z)=1+e−z1
将我们的分类问题结合这个函数进行分类就是逻辑回归的主要思想。在分类问题中,我们训练数据 的时候,可以在每个特征上都乘一个回归系数,然后把所有的结果值都想加,将会这个综合带入sigmoid函数中。进而得到一个范围在0-1的数值。从而实现了分类。
那么这个问题进而变成了,如何算出来这个系数。
z
=
w
0
x
0
+
w
1
x
1
+
w
2
x
2
+
.
.
.
+
w
n
x
n
z=w_0x_0+w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n
z=w0x0+w1x1+w2x2+...+wnxn
通过梯度下降/上升的方法进行求解。
w : = w + a ∇ w f ( w ) w:=w+a\nabla_wf(w) w:=w+a∇wf(w)
这里直接通过代码展示:
loadDataSet
导入数据,gradAscent
是通过梯度上升的方法进行计算。这里设置步长a为0.01,迭代500次。这里dataMatrix*weights
的运算实际上是矩阵相乘。计算真实类别和预测类别的差值,然后按照差值的方向调整回归系数。
from numpy import *
def loadDataSet():
dataMat=[];labelMat=[]
fr = open('data/testSet.txt')
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataMat.append([1.0,float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat,labelMat
def sigmoid(inX):
return 1.0/(1+exp(-inX))
def gradAscent(dataMatIn,classLabels):
dataMatrix = mat(dataMatIn)
labelMat=mat(classLabels).transpose()
m,n=shape(dataMatIn)
alpha=0.001
maxCycles=500
weights=ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix*weights)
error=(labelMat-h)
weights=weights+alpha*dataMatrix.transpose()*error
return weights
dataArr,labelMat =loadDataSet()
weights= gradAscent(dataArr,labelMat)
之后画出数据和分类边界
def plotBestFit(wei):
weights = wei
dataMat,labeMat = loadDataSet()
dataArr = array(dataMat)
n=shape(dataArr)[0]
xcord1=[];ycord1=[];xcord2=[];ycord2=[]
for i in range(n):
if int(labelMat[i]) ==1:
xcord1.append(dataArr[i,1]);ycord1.append(dataArr[i,2])
else:
xcord2.append(dataArr[i,1]);ycord2.append(dataArr[i,2])
fig = plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1,ycord1,s=30,c='red',marker='s')
ax.scatter(xcord2,ycord2,s=30,c='green')
x = arange(-3.0,3.0,0.1)
y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
ax.plot(x,y)
plt.xlabel('X1');plt.ylabel('X2')
plt.show()
plotBestFit(weights.getA())
梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集,该方法在处理100个左右的数据集时尚可,但如果有数十亿样本和成千上万的特征,那么该方法的计算复杂度就太高了。一种改进方法是一次仅用一个样本点来更新回归系数,该方法称为随机梯度上升算法。由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新,因而随机梯度上升算法是一个在线学习算法。与 “ 在线学习”相对应,一次处理所有数据被称作是“批处理” 。
在线学习算法简单来说,就是出现一个数据样本,就进行训练,然后对模型的参数进行修改。具体可参看:https://www.cnblogs.com/EE-NovRain/p/3810737.html
这里介绍一种随机梯度上升方法:
def stocGradAscent0(dataMatrix,classLabels):
m,n=shape(dataMatrix)
alpha=0.01
weights=ones(n)
for i in range(m):
h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
error=classLabels[i]-h
weights=weights+alpha*error*dataMatrix[i]
return weights
dataArr,labelMat = loadDataSet()
weights=stocGradAscent0(array(dataArr),labelMat)
print(type(weights))
plotBestFit(weights)
和改进的随机梯度上升方法:
def stocGradAscent1(dataMatrix,classLabels,numIter=150):
m,n=shape(dataMatrix)
print(m,n)
weights=ones(n)
tn=0
for j in range(numIter):
dataIndex = list(range(m))
for i in range(m):
alpha = 4/(1.0+j+i)+0.01
randIndex= int(random.uniform(0,len(dataIndex)))
h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
error=classLabels[randIndex]-h
weights = weights+ alpha*error*dataMatrix[randIndex]
del(dataIndex[randIndex])
return weights
weights=stocGradAscent1(array(dataArr),labelMat)
plotBestFit(weights)
关于上述的两种优化算法,这个博客内已经介绍的很清楚了:
https://blog.youkuaiyun.com/qq_25174673/article/details/83962411
这里我进行了一个测试,就是将训练集数据扩大到了3200个(原来是100个)。之后使用最原始的梯度上升和改进的随机梯度上升作比较。发现改进的随机梯度上升方法在训练的时候要比原始方法慢。
我考虑了一下,可能1.是原始的方法主要运算量是在矩阵相乘的地方,而改进的方法对应则是一个for循环,个人推测应该是矩阵相乘的算法应该在底层会有优化,所以执行效率高。2.可能数据集还是太少,无法凸显出随机梯度上升方法的优越性。