逻辑回归 机器学习实战

在介绍逻辑回归前，我们需要先减少一个函数 sigmoid

$$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

将我们的分类问题结合这个函数进行分类就是逻辑回归的主要思想。在分类问题中，我们训练数据 的时候，可以在每个特征上都乘一个回归系数，然后把所有的结果值都想加，将会这个综合带入sigmoid函数中。进而得到一个范围在0-1的数值。从而实现了分类。
那么这个问题进而变成了，如何算出来这个系数。
$$z=w_0{x}_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_n{x}_n$$

通过梯度下降/上升的方法进行求解。

$$w:=w+a{\nabla }_{w}f(w)$$

这里直接通过代码展示：
loadDataSet导入数据，gradAscent是通过梯度上升的方法进行计算。这里设置步长a为0.01，迭代500次。这里dataMatrix*weights的运算实际上是矩阵相乘。计算真实类别和预测类别的差值，然后按照差值的方向调整回归系数。

from numpy import *
def loadDataSet():
    dataMat=[];labelMat=[]
    fr = open('data/testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0,float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn,classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)
    labelMat=mat(classLabels).transpose()
    m,n=shape(dataMatIn)
    alpha=0.001
    maxCycles=500
    weights=ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)
        error=(labelMat-h)
        weights=weights+alpha*dataMatrix.transpose()*error
    return weights
    
dataArr,labelMat =loadDataSet()
weights= gradAscent(dataArr,labelMat)
 

之后画出数据和分类边界

def plotBestFit(wei):
    weights = wei
    dataMat,labeMat = loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n=shape(dataArr)[0]
    xcord1=[];ycord1=[];xcord2=[];ycord2=[]
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i]) ==1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]);ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]);ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax=fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1,ycord1,s=30,c='red',marker='s')
    ax.scatter(xcord2,ycord2,s=30,c='green')
    x = arange(-3.0,3.0,0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    ax.plot(x,y)
    plt.xlabel('X1');plt.ylabel('X2')
    plt.show()
 
plotBestFit(weights.getA())
 

梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集，该方法在处理100个左右的数据集时尚可，但如果有数十亿样本和成千上万的特征，那么该方法的计算复杂度就太高了。一种改进方法是一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为随机梯度上升算法。由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新，因而随机梯度上升算法是一个在线学习算法。与 “ 在线学习”相对应，一次处理所有数据被称作是“批处理” 。

在线学习算法简单来说，就是出现一个数据样本，就进行训练，然后对模型的参数进行修改。具体可参看：https://www.cnblogs.com/EE-NovRain/p/3810737.html

这里介绍一种随机梯度上升方法：

def stocGradAscent0(dataMatrix,classLabels):
    m,n=shape(dataMatrix)
    alpha=0.01
    weights=ones(n)
    for i in range(m):
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error=classLabels[i]-h
        weights=weights+alpha*error*dataMatrix[i]
    return weights

dataArr,labelMat = loadDataSet()
weights=stocGradAscent0(array(dataArr),labelMat)
print(type(weights))
plotBestFit(weights)

和改进的随机梯度上升方法：

def stocGradAscent1(dataMatrix,classLabels,numIter=150):
    m,n=shape(dataMatrix)
    print(m,n)
    weights=ones(n)
    tn=0
    for j in range(numIter):         
        dataIndex = list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha = 4/(1.0+j+i)+0.01
            randIndex= int(random.uniform(0,len(dataIndex)))
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error=classLabels[randIndex]-h
            weights = weights+ alpha*error*dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights
        

 
weights=stocGradAscent1(array(dataArr),labelMat)
plotBestFit(weights)

关于上述的两种优化算法，这个博客内已经介绍的很清楚了：
https://blog.youkuaiyun.com/qq_25174673/article/details/83962411

这里我进行了一个测试，就是将训练集数据扩大到了3200个（原来是100个）。之后使用最原始的梯度上升和改进的随机梯度上升作比较。发现改进的随机梯度上升方法在训练的时候要比原始方法慢。
我考虑了一下，可能1.是原始的方法主要运算量是在矩阵相乘的地方，而改进的方法对应则是一个for循环，个人推测应该是矩阵相乘的算法应该在底层会有优化，所以执行效率高。2.可能数据集还是太少，无法凸显出随机梯度上升方法的优越性。