gcd（数论，公约数为素数）

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题目

描述
给定整数$n$，求$1\le x,y\le n$且$Gcd(x,y)$为素数的数对$（x,y）$有多少对？
输入
一个整数，$1\le n\le 1e7$
输出
一个整数
样例输入
4
样例输出
4
样例解释
(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

思路

我们记$\beta (a)$表示小于$a$且与$a$互质的某一个数
我们设$gcd(x,y)=d$，那么$gcd(\lfloor \frac{x}{d}\rfloor ,\lfloor \frac{y}{d}\rfloor )=1$，而$\lfloor \frac{x}{d}\rfloor <\lfloor \frac{y}{d}\rfloor$，那不就是求$\phi (\lfloor \frac{y}{d}\rfloor )$吗?
而$d$是小于$n$的素数，所以我们要把$n$以内的所有素数都筛出来，而此时我们就可以$\phi (i)$给做出来了。
而我们再想，既然$(\lfloor \frac{y}{d}\rfloor \ast d，\beta (\lfloor \frac{y}{d}\rfloor )\ast d)$是一个满足题意的数对，那么对于$i，1\le i\le \lfloor \frac{y}{d}\rfloor$
$（i\ast d，\beta (i)\ast d）$是不是也是一个满足题意的数对
所以，对于每一个$d$，我们都要求$1\le i\le \lfloor \frac{n}{d}\rfloor$的$\phi (i)$之和即$$\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\phi (i)$$
而最后的答案就可以表示成这样
$$\sum _{i=1}^{cnt}\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d_i}\rfloor }\phi (j)$$
对于$$\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\phi (i)$$我们可以用前缀和优化一下，根据样例解释，两个不同的数调换位置也算一组数，所以最后要乘二，然而，素数不乘二，因此要减去$n$以内素数的数量

代码如下

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define M 10000005
#define LL long long
 
int p[M];
LL n, ans, cnt;
LL phi[M];
 
bool v[M];
 
void sieve(int x){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= x; i ++){
        if( !v[i] ){
            p[++cnt] = i;
            v[i] = 1;
            phi[i] = i-1;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt && i*p[j] <= x; j ++){
            v[i*p[j]] = 1;
            if( i % p[j] == 0 ){
                phi[i*p[j]] = phi[i]*p[j];
                break;
            }
            else phi[i*p[j]] = phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        phi[i] += phi[i-1];
}
 
int main(){
    //freopen("gcd.in","r",stdin);
    //freopen("gcd.out","w",stdout);
    scanf("%lld", &n);
    sieve(n);
    for(int i = cnt; i > 0; i --)
        ans = ans+phi[n/p[i]]*2;
    printf("%lld\n", ans-cnt);
    return 0;
}