3、如何理解超平面？

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/145706435

首先明确几个定义：(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。

在 空间中，假如有法向量 ，过原点的平面内任意原点出发的向量 必然与之满足 。如果平面沿着法向量的方向上下平移了，那么这个方程就不成立了。

 

我们假设平移之后平面经过 ，平面内任意一点记为 ，法向量记为 ，如下图。

 不难看出， 在平面内，当然也就和法向量垂直。于是我们有：

化简后得：

即 。由于其为常数项，令 ，于是超平面的公式可以写成：

 

1. 这个结论同样适用于 空间； 2. 无论超平面如何平移，系数始终是法向量 。

点到超平面的距离

 上图中 是平面外的一点。我们要求的距离记为 ，也就是红色的线段。根据三角函数可以得到： （空间中一点向超平面作垂线， 只能是锐角，不必担心正负）。因为 肯定和法向量平行，所以这样来算夹角： （因为法向量可能反向，所以给等式左边加上绝对值），联立得：

 

因为 在超平面内， ，于是最后得到的任意点到超平面的距离公式：