中国剩余定理

最新推荐文章于 2022-11-27 16:43:12 发布

zsyz_lb2003

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分类专栏：同余蓝书做题记录 caioj数论蓝书数论

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本文深入探讨了中国剩余定理的数学原理，该定理提供了解决一组线性同余方程的有效方法。通过详细的数学推导，文章证明了当模数两两互质时，存在唯一的整数解。此外，还给出了求解此类方程的具体步骤。

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设 $m_1,m_2,...,m_n$ 是两两互质的整数， $m=∏i=1nmi,Mi=m/mi,tim=\prod_{i=1}^nm_i,M_i=m/m_i,t_i$ 是线性同余方程 $Miti≡1(mod⁡mi)M_it_i\equiv1(\operatorname{mod} m_i)$ 的一个解。对于任意的n个整数 $a_1,a_2,...,a_n$ ,方程组
${x≡a1(mod⁡m1)x≡a2(mod⁡m2)⋮x≡an(mod⁡mn)\begin{cases}x\equiv a_1(\operatorname{mod} m_1)\\x\equiv a_2(\operatorname{mod }m_2)\\\vdots\\x\equiv a_n(\operatorname{mod}m_n)\end{cases}$

有整数解，解为 $x=∑i=1naiMitix=\sum_{i=1}^{n}a_iM_it_i$

证明:

因为 $M_i=m/m_i$ 是除 $m_i$ 之外所有模数的倍数，所以 $∀k≠i,aiMiti≡0(mod⁡mk)\forall k \ne i,a_iM_it_i\equiv 0(\operatorname{mod} m_k)$ 。又因为 $aiMiti≡ai(mod⁡mi)a_iM_it_i\equiv a_i(\operatorname{mod}m_i)$ ，所以代入 $x=∑i=1naiMitix=\sum_{i=1}^na_iM_it_i$ ，所以原方程组成立、