LC.77 组合

题目描述：

     给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:

    输⼊: n = 4, k = 2

    输出: [

         [2,4],

         [3,4],

         [2,3],

         [1,2],

         [1,3],

         [1,4],

     ]

思路：

    对于给出的用例，要选出集合个数为2的所有组合，很容易想到的是双重for循环解决问题，集合个数为3的话就嵌套三层for循环，那集合个数为50、100呢？这种暴力for循环是解决不了问题了，我们就需另找它法了。

    虽然回溯法很低效，但是对于这种问题却可以得出正确的答案。

    根据上述出现的问题，for循环层数太多，无法写出，而回溯法就是用递归来解决嵌套层数的问题。递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每⼀次的递归中嵌套⼀个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

    关于为什么 for+递归 可以解决多层嵌套循环问题的思考，下面以上述示例的集合[1,2]为例解释：

  注：每次回溯终止返回都是返回到了它的上一层，然后接着执行for循环。对这儿的阐述可能不太准确，但是通过举例子去思考这个过程就能想明白。

      穷举过程如下图所示：

回溯三部曲：

• 定义方法返回值及参数：

    在这里要定义两个全局变量，⼀个用来存放符合条件单⼀结果，⼀个用来存放符合条件结果的集合。

    代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合

vector<int> path; // ⽤来存放符合条件结果

    其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。

    函数里⼀定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。

    然后还需要⼀个参数为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历 （集合就是[1,...,n] ）。

    为什么要有这个startIndex呢？

    从上述穷举图可以看出，每次从集合中选取元素时，为了保证选出的集合是组合而不是排列，所以可选择的范围随着选择的进行而收缩，这就需要一个变量 startIndex 来调整可选择的范围。

    所以，函数定义为：void backtracking(int n, int k, int startIndex)

• 终止条件：

    path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了⼀个子集大小为k的组合了，此时用result二维数组把path保存起来，并终止本层递归。

    所以终止条件的代码为：

if (path.size() == k) {

   result.push_back(path);

   return;

}

• 单层搜索过程：

    for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点。

    代码如下：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历

 path.push_back(i); // 处理节点

 backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下⼀层搜索要从i+1开始

 path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点

}

注：backtracking（递归函数）通过不断调用自己⼀直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回

代码：

class Solution {

    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {

        backtracking(n, k, 1);

        return result;

    }

    public void backtracking(int n, int k, int startIndex) {

        if(path.size() == k) {

            result.add(new ArrayList<>(path));

            return;

        }

        for(int i = startIndex; i <= n; i++) {

            path.add(i);

            backtracking(n, k, i + 1);

            path.remove(path.size() - 1);

        }

    }

}

遇到的问题：

• ArrayList中remove方法的语法为：

// 删除指定元素

arraylist.remove(Object obj)

// 删除指定索引位置的元素

arraylist.remove(int index)

• res.add(new ArrayList＜＞(path))和res.add(path)的区别：

共同点：

  都是向res这个ArrayList中填加了一个名为path的链表。

不同点：

  res.add(new ArrayList(path))：开辟一个独立地址，地址中存放的内容为path链表，后续path的变化不会影响到res。

  res.add(path)：将res尾部指向了path地址，后续path内容的变化会导致res的变化。

剪枝优化：

  举例：当 n = 4, k = 4

  通过分析可知，当起始位置之后的元素个数不满足所需元素个数时，进行的都是无效遍历，所以可以剪枝的地方就在递归中每一层for循环所选择的起始位置。

  优化过程如下：

1. 已经选择的元素个数：path.size();

2. 还需要的元素个数为: k - path.size();

3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

由

   for (int i = startIndex; i <= n; i++)

优化为

   for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++)

  问题：至于 + 1 的问题，需要根据下标情况来分析？

    不确定是否要加一，可以通过举例来判断，如果不加一符合题目要求，那就不加，反之则加。本题加一，我觉得是因为for循环是从1开始，到n才结束。

  代码：

class Solution {

    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {

        backtracking(n, k, 1);

        return result;

    }

    public void backtracking(int n, int k, int startIndex) {

        if(path.size() == k) {

            result.add(new ArrayList<>(path));

            return;

        }

        for(int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {

            path.add(i);

            backtracking(n, k, i + 1);

            path.remove(path.size() - 1);

        }

    }

}