LU分解

最新推荐文章于 2024-04-21 11:37:15 发布
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分类专栏： 算法研究 文章标签： matlab
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LU分解是线性代数中的一个重要概念，与Gauss消去法密切相关。通过一系列下三角阵的乘积，可以将矩阵A分解为L和U，其中L是单位下三角阵，U是上三角阵。在Matlab中，LU分解可以通过内置函数`lu(A)`轻松实现。相较于Gauss消去法，LU分解在大尺寸矩阵时通常运算速度更快，因为其计算量更小。

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    在线性方程组理论中，Gauss消去法的每一步，其实都是在对方程的增广矩阵做初等行变换。由线性代数知道，对矩阵做初等行变换相当于用一个初等矩阵去左乘。而Gauss消去法中的每一个行变换，涉及到的初等行变换（倍乘变换）对应的初等矩阵都是下三角阵。因此，整个消元过程相当于用一系列的下三角阵去左乘增广矩阵使得它变成一个上三角阵的过程。于是，这些下三角阵的乘积P

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矩阵LU分解算法分析
CSAP
01-23 1万+
什么是矩阵LU的分解呢？顾名思义LU分解就是讲矩阵分解成下三角矩阵L和上三角矩阵U。可能一上来直接就讲解矩阵LU分解有点突然。那么在说这个之前呢我们先从线性代数方面回顾一下吧，其实说到矩阵我们头脑中自然而然的就会想到行列式，其实行列式和矩阵是有区别的，行列式表示一个数，而矩阵则表示的是一组向量。下面先了解下矩阵的一些基本的性质和运算，然后再看矩阵LU分解。 1）对n阶矩阵A进行转置 start
算法学习之一（二）：矩阵计算——LU分解
u013898477的专栏
03-11 4678
好吧，继续上来吐槽。。。昨天改了一晚上，今天查了一早上。一块一块的改，一点一点的查，终于把这个LU分解给写出来了。发现错误居然是打错了一个字母，本来该用这个数组结果用成了另外的一个数组中的数据，淡淡的忧桑，无尽的悲意化为我在去上课之前写会博客的动力，不废话了下面开始说LU分解。 LU分解的理论基础见此：http://zh.wikipedia.org/wiki/LU%E5%88%86%E8%A7%
矩阵分解入门——LU分解
chaser30的博客
04-19 1万+
文章目录LU分解LU分解简介LU分解与高斯分解的对比LU的主要用途使用LU矩阵的注意事项初等矩阵与消元LU分解与配方法实际效果对比(matlab)使用LU分解中的一些特例AAA矩阵中主元（位于第一行第一列的元素）为0LU分解后UUU为非满秩LU分解的推广1——LDU分解LU分解的推广2——Crout分解 LU分解 LU分解简介 LU分解是矩阵因式分解的一种，也叫Doolittle分解。旨在将Ax=bAx = bAx=b中的矩阵AAA表示为两个或多个矩阵的乘积。LU分解是将矩阵AAA分解为一个下三角矩阵(Lo
机器学习降维--lu分解
weixin_30339969的博客
07-12 196
转载于:https://www.cnblogs.com/wqbin/p/11178024.html
LU分解（LU Factorization）计算方法（手算+MATLAB），关于置换矩阵（Permutation Matrix），部分主元消去法（Partial Pivoting）
Zijie123pea的博客
02-15 1万+
背景：   求解一些列具有相同系数矩阵的线性方程，如：Ax=b1Ax=b_1Ax=b1​，Ax=b2Ax=b_2Ax=b2​，…Ax=bpAx=b_pAx=bp​等。当矩阵AAA可逆时，可以先求出矩阵AAA的逆A−1A^{-1}A−1，再计算A−1b1A^{-1}b_1A−1b1​，A−1b2A^{-1}b_2A−1b2​等。   但是，也可以用LU分解法来解这一系列方程：先使用初等行变换化简解出Ax=b1Ax=b_1Ax=b1​，并同时得到矩阵AAA的LU分解，剩下的方程使用LU分解法求解即可。 方法：
数值计算方法：LU分解
成长中
11-27 2101
import numpy as np def my_LU(B): A = np.array(B) n = len(A) L = np.zeros(shape=(n, n)) U = np.zeros(shape=(n, n)) for k in range(n - 1): vvector = A[:, k] vvector[...
计算方法B_LU分解
weixin_30537451的博客
09-25 501
%矩阵LU分解 %2018 09 25 %by wu penghao A=rand(10,10); u=zeros(10,10); l=zeros(10,10); n=length(A); %u(1,j)=A(1,j) for i=1:1:n u(1,i)=A(1,i); end %a(k,1)=A(k,1)/u(1,1) for j=1:1:n l(j,1)...
用LU分解求解线性方程组：AX=b
04-16
解决这类问题的方法多种多样，其中LU分解是一种高效且实用的技术。本文将深入探讨LU分解及其在MATLAB环境中的应用，以解决形如AX=b的线性方程组。 LU分解，全称为Lower Upper分解，是指将一个方阵A分解为一个下三角...
矩阵求逆LU分解法_LU_矩阵求逆_源码
10-04
LU分解法是一种有效的矩阵因式分解方法，它能够帮助我们高效地计算矩阵的逆。本文将详细介绍LU分解法以及如何用C++实现求逆矩阵的过程。 LU分解，全称是Lower Upper分解，即将一个矩阵A分解为两个三角矩阵L（下三角...
实验报告- 在华为鲲鹏服务器上的 OpenMP+MPI矩阵LU分解
07-05
【OpenMP+MPI矩阵LU分解】实验报告主要探讨了如何在华为鲲鹏服务器上利用OpenMP和MPI并行计算技术对矩阵进行LU分解，以高效解决线性方程组的问题。矩阵LU分解是线性代数中的一个重要概念，它将线性方程组的求解转化...
MATLAB-LU分解法实验报告
03-27
MATLAB-LU分解法实验报告中提到的核心知识点包括LU分解法的理论基础、实现方法以及在MATLAB环境下的具体应用。LU分解是线性代数中用于求解线性方程组的一种数值方法，其原理和应用是理工科学生和工程师在数值计算...
LU分解：LU分解-matlab开发
06-01
LU分解是一种在数值线性代数中常用的矩阵分解方法，它将一个方阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。这种分解在求解线性方程组、计算逆矩阵以及进行矩阵运算时具有重要作用，尤其是在大型稀疏...
MIT线性代数笔记四 矩阵的LU分解
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herosunly的博客
03-23 2万+
本节的主要目的是从矩阵的角度理解高斯消元法，最后找到所谓的 L LL矩阵，使得矩阵 A AA可以转变为上三角阵 U UU。即完成 L U LULU分解得到 A = L U A=LUA=LU。首先继续了解一些矩阵乘法和逆矩阵的相关内容。   在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求逆矩阵或计算行列式。
矩阵论 - 4 - LU分解
NULL
10-07 516
LU分解 乘积的逆 乘积\(AB\)的逆为\(B^{-1}A^{-1}\) \((AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1}=I\) 乘积的转置 乘积\(AB\)的转置为\(B^TA^T\)。对于任何可逆的矩阵，有\(A^T\)的逆为\((A^{-1})^T\)，即$(AT){-1} =(A{-1})T $。(逆和转置的运算可以交...
解线性方程组——直接解法：LU分解、PLU分解(类似列主元消去法) | 北太天元 or matlab
以算法实现为主
04-21 1万+
解线性方程组——直接解法：LU分解、PLU分解(类似列主元消去法) | 北太天元 算法及代码,例子,使用软件: 北太天元
工程计算：LU分解（Doolittle及Cholesky）
m0_58367921的博客
03-29 1560
LU分解 目的：解决采用高斯消元法大量重复计算导致的效率低下的问题。 高斯消元过程其实就是一个矩阵的三角分解过程： 由系数矩阵AAA的求解过程： A(k+1)=LkA(k) A^{(k+1)}= L_kA^{(k)} A(k+1)=Lk​A(k) 我们可以总结出： A=LU A=LU A=LU 即LU分解（Doolittle分解） 其中，L为：单位下三角矩阵L为：单位下三角矩阵L为：单位下三角矩阵 U为：上三角矩阵U为：上三角矩阵U为：上三角矩阵。 定理：若A的所有顺序主子式不为零，则A存在唯一的LU分解。
矩阵系列：LU分解
u012938458的博客
07-10 1万+
1矩阵LU分解模块 1.1 LU分解数学表达 首先要明确的是，矩阵的LU分解是有局限性的，即LU分解只针对非奇异矩阵。那么什么是非奇异矩阵呢？即各阶顺序主子式不为零。 （1）高斯消去法 LU分解的思想来源于高斯消去法，拿方阵为例（因为本项目中要处理的就是方阵）。将一个n*n的方阵A，通过左乘一系列消去矩阵（笔者自己起的名字，便于理解）。使得 ((((n个L1*(((L2*((…(LnA)=U U为上三角矩阵。 之所以这样化简是因为上三角矩阵便于求解方程组（当然这不是本文的主题，只
《数值分析》-- 高斯消去法与矩阵三角分解法(LU分解)
HG0724的博客
12-19 9483
讲解了Gauss消去法：不选主元的Gauss消去法、Gauss列主元消去法、Gauss全主元消去法； 讲解了矩阵的三角分解法
线性代数——LU(LR)分解
nstarLDS的博客
05-13 6856
定义：给定矩阵A，将A表示成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，称为LU分解。
lu分解
最新发布
06-01
<think>好的，我现在需要帮助用户了解LU分解的实现以及相关问题。首先，我得回顾一下LU分解的基本概念。LU分解是将一个矩阵分解成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，这在解线性方程组时非常有用，特别是当需要多次求解不同右端项的时候，可以节省计算资源[^1]。用户可能想知道具体的实现步骤，所以我需要分步骤解释LU分解的过程，比如选主元、行交换等。同时，用户可能关心实现中的常见问题，比如主元为零的情况，这时候需要进行行交换，也就是部分选主元法（PartialPivoting）。这能避免除以零的错误，并提高数值稳定性。接下来，我需要考虑如何用代码示例来展示LU分解的实现。Python是一个常用的语言，可以用NumPy库来操作矩阵。代码中需要包括分解过程，处理选主元，以及可能的错误处理，比如矩阵不可分解的情况。另外，用户可能对LU分解的应用和优化感兴趣，比如它在解线性方程组中的应用，或者与其他分解方法如Cholesky分解的区别。这时候可以引用之前提到的性能分析，比如不同场景下的效率问题[^2]。还要注意用户提到的引用内容，特别是引用[3]中的实例级映射问题，虽然和LU分解没有直接关系，但可能用户有跨领域应用的兴趣，不过这里应专注于LU分解本身。最后，生成相关问题时要覆盖实现步骤、数值稳定性、应用场景、优化方法以及与其他分解方法的比较。这些问题需要引导用户进一步深入学习，并解决可能遇到的困难。</think>### LU分解的实现与问题解决 LU分解通过将矩阵$A$分解为下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$的乘积（即$A=LU$），为求解线性方程组提供高效方法[^1]。以下是实现要点及常见问题分析： #### **实现步骤** 1. **初始化矩阵**：给定$n \times n$矩阵$A$，初始化$L$为单位下三角矩阵，$U$为$A$的副本。 2. **逐列消元**： - 对第$k$列（从1到$n-1$），选择主元（通常选当前列绝对值最大的元素，避免除以零）。 - 若主元不在第$k$行，则交换行（部分选主元法）。 - 计算乘子$l_{ik} = u_{ik}/u_{kk}$，更新$L$和$U$： $$ u_{ij} = u_{ij} - l_{ik} \cdot u_{kj} \quad (i,j \geq k+1) $$ 3. **处理结果**：最终$L$保留所有乘子，$U$为上三角矩阵。 #### **代码示例（Python）** ```python import numpy as np def lu_decomposition(A): n = A.shape[0] L = np.eye(n) U = A.copy().astype(float) P = np.eye(n) # 置换矩阵 for k in range(n-1): # 部分选主元 pivot_row = np.argmax(np.abs(U[k:, k])) + k if pivot_row != k: U[[k, pivot_row]] = U[[pivot_row, k]] P[[k, pivot_row]] = P[[pivot_row, k]] if k > 0: L[[k, pivot_row], :k] = L[[pivot_row, k], :k] # 消元 for i in range(k+1, n): L[i, k] = U[i, k] / U[k, k] U[i, k:] -= L[i, k] * U[k, k:] return P, L, U # 示例 A = np.array([[2, 1, 1], [4, 3, 3], [8, 7, 9]]) P, L, U = lu_decomposition(A) print("P:\n", P) print("L:\n", L) print("U:\n", U) ``` #### **常见问题与解决** 1. **主元为零或极小**：通过部分选主元法（行交换）避免数值不稳定[^1]。 2. **矩阵不可分解**：当矩阵非满秩时，需引入置换矩阵$P$（即PA=LU）。 3. **计算复杂度**：LU分解复杂度为$O(n^3)$，但优于高斯消元法的多次应用[^2]。 #### **应用场景** - 解线性方程组$Ax=b$：分解后分别解$Ly=Pb$和$Ux=y$。 - 矩阵求逆和行列式计算：利用$L$和$U$的三角结构简化运算。
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