问题 A: 最大连续子序列

题目描述
给定K个整数的序列{ N1, N2, …, NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, …, Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。现在增加一个要求，即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。

输入
测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( K<= 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔，每个数的绝对值不超过100。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。

输出
对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。

样例输入

5
-3 9 -2 5 -4
3
-2 -3 -1
0

样例输出

12 9 5
0 -2 -1

提示
这是一道稍微有点难度的动态规划题。

首先可以想到的做法是枚举每个区间的和，预处理sum[i]来表示区间[1, i]的和之后通过减法我们可以O(1)时间获得区间[i, j]的和，因此这个做法的时间复杂度为O(n^2)。

然后这题的数据范围较大，因此还需作进一步优化才可以AC。记第i个元素为a[i]，定义dp[i]表示以下标i结尾的区间的最大和，那么dp[i]的计算有2种选择，一种是含有a[i-1]，一种是不含有a[i-1]，前者的最大值为dp[i-1]+a[i]，后者的最大值为a[i]。而两者取舍的区别在于dp[i-1]是否大于0。

思路一：动态规划。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 10010;
// A[i]存放序列，dp[i]存放以A[i]结尾的连续序列的最大和，st[i]存放dp[i]的第一个元素
int A[maxn], dp[maxn], st[maxn];

int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n), n != 0) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &A[i]);
        }
        dp[0] = A[0];
        st[0] = A[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = max(A[i], dp[i - 1] + A[i]); //状态转移方程
            if (dp[i - 1] < 0) { //以上一个元素结尾的连续序列最大和小于0时
                st[i] = A[i]; //重新记录
            } else {
                st[i] = st[i - 1]; //不变
            }
        }
        int k = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (dp[i] > dp[k]) {
                k = i;
            }
        }
        if (dp[k] >= 0) {
            printf("%d %d %d\n", dp[k], st[k], A[k]);
        } else {
            printf("0 %d %d\n", A[0], A[n - 1]);
        }
    }
    return 0;
}

思路二：在线处理算法。如果当前子列和小于0，则不能对后续的子列和贡献正面影响，故舍去。

#include <cstdio>

const int maxn = 10010;
int a[maxn];

int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n), n != 0) {
        int left = 0, right = n - 1, templeft = 0;
        int temp = 0, max = -1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            temp += a[i]; //记录当前子列和
            if (temp > max) { //有更大的子列和时
                max = temp;
                left = templeft; // left随templeft更新
                right = i; // right随i更新
            } else if (temp < 0) { //如果当前子列和小于0则舍去
                temp = 0; //重新开始记录
                templeft = i + 1; // left变成下一个位置
            }
        }
        if (max < 0) {
            max = 0;
        }
        printf("%d %d %d\n", max, a[left], a[right]);
    }
    return 0;
}