问题 A: 最大连续子序列

这篇博客介绍了如何使用动态规划和在线处理算法解决寻找最大连续子序列和的问题。在给定整数序列中,目标是找到元素和最大的连续子序列,并输出其起始和结束元素。动态规划方法通过维护以每个元素结尾的子序列最大和,实现了O(n^2)的时间复杂度优化。在线处理算法则通过舍弃对后续子序列贡献为负的元素,达到线性时间复杂度。文章提供了两种算法的C++实现并给出了样例测试用例的输出结果。

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题目描述
给定K个整数的序列{ N1, N2, …, NK },其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, …, Nj },其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个,例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 },其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 },最大和为20。现在增加一个要求,即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。

输入
测试输入包含若干测试用例,每个测试用例占2行,第1行给出正整数K( K<= 10000 ),第2行给出K个整数,中间用空格分隔,每个数的绝对值不超过100。当K为0时,输入结束,该用例不被处理。

输出
对每个测试用例,在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元素,中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一,则输出序号i和j最小的那个(如输入样例的第2、3组)。若所有K个元素都是负数,则定义其最大和为0,输出整个序列的首尾元素。

样例输入

5
-3 9 -2 5 -4
3
-2 -3 -1
0

样例输出

12 9 5
0 -2 -1

提示
这是一道稍微有点难度的动态规划题。

首先可以想到的做法是枚举每个区间的和,预处理sum[i]来表示区间[1, i]的和之后通过减法我们可以O(1)时间获得区间[i, j]的和,因此这个做法的时间复杂度为O(n^2)。

然后这题的数据范围较大,因此还需作进一步优化才可以AC。记第i个元素为a[i],定义dp[i]表示以下标i结尾的区间的最大和,那么dp[i]的计算有2种选择,一种是含有a[i-1],一种是不含有a[i-1],前者的最大值为dp[i-1]+a[i],后者的最大值为a[i]。而两者取舍的区别在于dp[i-1]是否大于0。

思路一:动态规划。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 10010;
// A[i]存放序列,dp[i]存放以A[i]结尾的连续序列的最大和,st[i]存放dp[i]的第一个元素
int A[maxn], dp[maxn], st[maxn];

int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n), n != 0) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &A[i]);
        }
        dp[0] = A[0];
        st[0] = A[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = max(A[i], dp[i - 1] + A[i]); //状态转移方程
            if (dp[i - 1] < 0) { //以上一个元素结尾的连续序列最大和小于0时
                st[i] = A[i]; //重新记录
            } else {
                st[i] = st[i - 1]; //不变
            }
        }
        int k = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (dp[i] > dp[k]) {
                k = i;
            }
        }
        if (dp[k] >= 0) {
            printf("%d %d %d\n", dp[k], st[k], A[k]);
        } else {
            printf("0 %d %d\n", A[0], A[n - 1]);
        }
    }
    return 0;
}

思路二:在线处理算法。如果当前子列和小于0,则不能对后续的子列和贡献正面影响,故舍去。

#include <cstdio>

const int maxn = 10010;
int a[maxn];

int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n), n != 0) {
        int left = 0, right = n - 1, templeft = 0;
        int temp = 0, max = -1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            temp += a[i]; //记录当前子列和
            if (temp > max) { //有更大的子列和时
                max = temp;
                left = templeft; // left随templeft更新
                right = i; // right随i更新
            } else if (temp < 0) { //如果当前子列和小于0则舍去
                temp = 0; //重新开始记录
                templeft = i + 1; // left变成下一个位置
            }
        }
        if (max < 0) {
            max = 0;
        }
        printf("%d %d %d\n", max, a[left], a[right]);
    }
    return 0;
}

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