问题 A: 还是畅通工程-优快云博客

这篇博客介绍了如何利用Prim和Kruskal算法解决图论中的经典问题——寻找最小生成树，以优化乡村交通状况。文章通过实例展示了这两种算法的实现过程，并提供了C++代码示例，帮助读者理解算法细节和应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

输入
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

输出
对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

样例输入

样例输出

思路一：Prim算法。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXV = 110;
const int INF = 0x3fffffff;

int n, G[MAXV][MAXV];
int d[MAXV]; //顶点与集合S的最短距离
bool vis[MAXV] = {false};

int prim() {
    fill(d, d + MAXV, INF);
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    d[1] = 0;
    int ans = 0; //存放最小生成树的边权之和
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int u = -1, min = INF;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (vis[j] == false && d[j] < min) { //找到未访问结点中d[]最小的
                u = j;
                min = d[j];
            }
        }
        if (u == -1) return -1;
        vis[u] = true; //标记u为已访问
        ans += d[u];
        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            //如果v未访问 && u能到达v && 以u为中介点可以使v离集合S更近
            if (vis[v] == false && G[u][v] != INF && G[u][v] < d[v]) {
                d[v] = G[u][v];
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int len, u, v, w;
    while (scanf("%d", &n), n != 0) {
        fill(G[0], G[0] + MAXV * MAXV, INF);
        for (int i = 0; i < n * (n - 1) / 2; i++) {
            scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
            G[u][v] = G[v][u] = w;
        }
        len = prim();
        printf("%d\n", len);
    }
    return 0;
}

思路二：Kruskal算法。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXV = 110;
const int MAXE = 10010;
//边集定义部分
struct edge {
    int u, v;
    int cost;
} E[MAXE];
bool cmp(edge a, edge b) {
    return a.cost < b.cost;
}
//并查集部分
int father[MAXV];
int findFather(int x) {
    int a = x;
    while (x != father[x]) {
        x = father[x];
    }
    //路径压缩（可不写）
    while (a != father[a]) {
        int z = a;
        a = father[a];
        father[z] = x;
    }
    return x;
}

int kruskal(int n, int m) { // n个顶点，m条边
    int ans = 0, Num_Edge = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        father[i] = i;
    }
    sort(E, E + m, cmp);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int fU = findFather(E[i].u);
        int fV = findFather(E[i].v);
        if (fU != fV) {
            father[fU] = fV;
            ans += E[i].cost;
            Num_Edge++;
            if (Num_Edge == n - 1) break;
        }
    }
    if (Num_Edge != n - 1) {
        return -1;
    } else {
        return ans;
    }
}

int main() {
    int N, len;
    while (scanf("%d", &N), N != 0) {
        for (int i = 0; i < N * (N - 1) / 2; i++) {
            scanf("%d%d%d", &E[i].u, &E[i].v, &E[i].cost);
        }
        len = kruskal(N, N * (N - 1) / 2);
        printf("%d\n", len);
    }
    return 0;
}