51nod 1052 最大m子段和 DP

转载自：http://blog.youkuaiyun.com/winter2121/article/details/72848482

最大m子段和

一、定义

给定由n个整数（可能为负）组成的序列a1、a2、a3...,an,

以及一个正整数m，要求确定序列的m个不想交子段，使这m个子段的总和最大！

二、解题思路

动态规划，借助矩阵可以直观的看到计算过程。

定义二维数组dp， dp[ i ][ j ]，表示前 j 项所构成 i 子段的最大和，且必须包含着第j项，即以第j项结尾

然后是一个递推过程。

求dp[ i ][ j ]，有两种情况

1、dp[ i ][ j ] = dp[ i ] [ j-1 ] + a[ j ] ，即把第j项融合到第 j-1 项的子段中，子段数没变

2、dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ] [ t ] + a[ j ]，（i-1<= t < j ）

把第 j 项作为单独的一个子段，然后找一下i-1个子段时，最大的和，然后加上a[ j ] 

然后比较上面两种情况，取大的。

下面看图，红色数字为输入的序列：

如图，要求dp[ 3 ][ 6 ]，只需比较他左边的那个，和上面那一行圈起来的之中最大的数，

再加上a[ j ] 即为dp[ 3 ][ 6 ] 的值。

优化一下：

1、沿着第m行的最后一个元素，往左上方向画一条线，线右上方的元素是没必要计算的

那么dp[ i ][ j ] ，j++的时候，j的上限为 i + n - m 即可。

还有左下角那一半矩阵，也是不用计算的，因为1个数字不可能分为2个子段

2、每确定一个dp[ i ][ j ]，只需用到本行和上一行，所以不用开维数组也可以，省内存。

开两个一维数组，pre和dp，pre记录上一行，dp记录当前行

3、再对上一行红圈中的数字找最大值时，若用一个循环来找，容易超时。

优化方法：在每次计算dp之前，同时记录下j前面的最大元素。

时间复杂度大致为O(m*(n-m+1))，mn-m方

通过图片，分析情况1和2，就能发现，从左上角走到第 m 行的最后一个元素即可，找出第 m 行的最大值即为答案。

详见例题。

三、例题

1、51nod 1052

1052 最大M子段和

基准时间限制：2 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80  难度：5级算法题

N个整数组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，将这N个数划分为 互不相交的M个子段，并且这M个子段的和是最大的。 如果M >= N个数中正数的个数，那么输出所有正数的和。

例如： -2  11  -4  13  -5  6  -2，分为2段，11 -4 13一段，6 一段，和为26。

Input

第1行：2个数N和M，中间用空格分隔。N为整数的个数，M为划分为多少段。（2 <= N , M <= 5000)
第2 - N+1行：N个整数 (-10^9 <= a[i] <= 10^9)

Output

输出这个最大和

Input示例

7 2
-2
11
-4
13
-5
6
-2

Output示例

26

【AC代码】：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long LL;

LL max(LL a,LL b)
{
	return a>b?a:b;
}

int main()
{
	int i,j,n,m;
	//dp[i]表示前 i 个数划分为 x 段的最大划分
	//pre记录上一行的值
	LL mx,a[5010],dp[5010],pre[5010];
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(pre,0,sizeof(pre));
		for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			dp[i]=a[i]; 
			mx=pre[i-1]; //记录上一行的最大值 
			for(j=i;j<=n-m+i;j++)
			{				
				dp[j]=max(dp[j-1],mx)+a[j]; //取两种情况的最大值 
				//先更新最大值再保存，否则会出错 
				if(mx<pre[j]) mx=pre[j]; //更新上一行的最大值，对下列起作用 
				pre[j]=dp[j]; //将当前行保存 
			}
		}
		mx=0;
		for(i=m;i<=n;i++) //分为 m 段最少需要 m 个数 
			if(dp[i]>mx) mx=dp[i];
		printf("%lld\n",mx);
	}
	return 0;
}