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难度:5级算法题
N个整数组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],将这N个数划分为
互不相交的M个子段,并且这M个子段的和是最大的。
如果M >= N个数中正数的个数,那么输出所有正数的和。
例如:
-2
11
-4
13
-5
6
-2,分为2段,11 -4 13一段,6
一段,和为26。
Input
第1行:2个数N和M,中间用空格分隔。N为整数的个数,M为划分为多少段。(2 <= N , M <= 5000) 第2 - N+1行:N个整数 (-10^9 <= a[i] <= 10^9)
Output
输出这个最大和
Input示例
7 2 -2 11 -4 13 -5 6 -2
Output示例
26
题解:设dp[i][j]表示前i元素截取j段的最大值,要到达dp[i][j],有两种策略:第一种是新建立一段,即从dp[x][j - 1]到达dp[i][j](x < i),第二种是在第j段后加入a[i],即从dp[i - 1][j]到达dp[i][j],此种写法复杂度为O(n^3);
我们注意到,对于dp[x][j - 1],我们只需要其中最大值即可,故我们开一个maxpre数组,记录(x < i)的j段最大值,成功的将复杂度降到O(n ^ 2);上述转移方程为:dp[i][j] = max(maxpre[j - 1], dp[i - 1][j]) + a[i];
maxpre[j] = max(maxpre[j], dp[now][j]);
上述写法仍然存在问题,空间爆了;很容易发现,dp数组每次只需要用到两维,故我们只需要开dp[2][]即可,记录一个now代表当前使用哪一维,执行完一次for循环后now取反操作!
AC代码
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <cmath>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll maxn = 5555;
ll dp[2][maxn], a[maxn], maxpre[maxn];
int main(){
ll n, m, num = 0;
scanf("%lld %lld", &n, &m);
for(ll i = 0; i < n; i++)
scanf("%lld", &a[i]);
ll last = 0;
for(ll i = 0; i < n; i++){
if(i == n - 1 || a[i] * a[i + 1] < 0){
ll sum = 0;
for(ll j = last; j <= i; j++)
sum += a[j];
a[num++] = sum;
last = i + 1;
}
}
n = num;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(maxpre, 0, sizeof(maxpre));
ll now = 0, ans = 0;
for(ll i = 0; i < n; i++){
memset(dp[now], 0, sizeof(dp[now]));
for(ll j = m; j >= 1; j--){
dp[now][j] = max(maxpre[j - 1], dp[!now][j]) + a[i];
maxpre[j] = max(maxpre[j], dp[now][j]);
}
ans = max(ans, dp[now][m]);
now = !now;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}