数列分块入门 1

题目描述

给出一个长为 nnn 的数列,以及 nnn 个操作,操作涉及区间加法,单点查值。

输入格式

第一行输入一个数字 nnn

第二行输入 nnn 个数字,第 iii 个数字为 aia_iai,以空格隔开。

接下来输入 nnn 行询问,每行输入四个数字 opt\mathrm{opt}optlllrrrccc,以空格隔开。

若 opt=0\mathrm{opt} = 0opt=0,表示将位于 [l,r][l, r][l,r] 的之间的数字都加 ccc

若 opt=1\mathrm{opt} = 1opt=1,表示询问 ara_rar 的值(lll 和 ccc 忽略)。

输出格式

对于每次询问,输出一行一个数字表示答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int x[50005],sy[50005],fk[50005],n,opt,l,r,c,a,b,d,dx,cnt,bnt;
int main()
{
	// freopen("a1.in","r",stdin);
	// freopen("1.out","w",stdout);
	cin>>n;
	dx=sqrt(n);
	bnt=1;
	for(a=1;a<=n;a++)
	{
		scanf("%d",&x[a]);
		sy[a]=(a-1)/dx+1;
	}
	for(a=1;a<=n;a++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&opt,&l,&r,&c);
		if(opt==1)
		{
			printf("%d\n",x[r]+fk[sy[r]]);
		}
		else
		{
			if(sy[l]==sy[r])
			{
				for(b=l;b<=r;b++)
				{
					x[b]+=c;
				}
				continue;
			} 
			int lf,ri;
			lf=sy[l];
			ri=sy[r];
			for(b=l;b<=lf*dx;b++)
			{
				x[b]+=c;
			}
			for(b=(ri-1)*dx+1;b<=r;b++)
			{
				x[b]+=c;
			}
			for(b=lf+1;b<=ri-1;b++)
			{
				fk[b]+=c;
			}
		}
	}
}



### 数列分块入门第8题的算法实现与解析 数列分块是一种高效的处理区间查询和修改的技术,其核心思想是将数组划分为若干个连续的小块,每一块内的元素可以快速更新或查询。对于数列分块入门第8题,假设问题是涉及区间加法操作以及最大值查询,则可以通过以下方法来解决。 #### 1. 数据结构设计 为了高效完成区间加法和最大值查询的操作,我们可以维护两个辅助数组: - `block_sum[]`:存储每个块的最大值。 - `lazy_tag[]`:标记每个块是否有延迟更新(即尚未应用到具体元素上的增量)。 这些数据结构的设计使得我们可以在 $ O(\sqrt{n}) $ 的时间复杂度下完成单次操作[^3]。 #### 2. 初始化过程 初始化时,我们需要计算初始状态下的块划分情况,并填充上述辅助数组的内容。以下是具体的代码实现: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 5; int a[MAXN], block_size, block_num; long long block_max[400]; bool lazy_flag[400]; void build_block(int n) { block_size = sqrt(n); block_num = (n + block_size - 1) / block_size; memset(block_max, 0, sizeof(block_max)); memset(lazy_flag, false, sizeof(lazy_flag)); for (int i = 0; i < n; ++i) { int idx = i / block_size; block_max[idx] = max(block_max[idx], (long long)a[i]); } } ``` #### 3. 延迟标记的应用 当执行区间加法时,为了避免逐一遍历整个范围中的每一个元素,引入懒惰传播机制。如果某个整块完全被覆盖在当前操作范围内,则直接对该块打上标签并记录增量;否则逐一访问该块内部受影响的部分。 下面是针对这一逻辑的具体函数定义: ```cpp // Apply the pending update to all elements within specified block. void propagate(int blk_idx, int delta) { if (!lazy_flag[blk_idx]) return; // Update maximum value of this block accordingly. block_max[blk_idx] += delta * block_size; lazy_flag[blk_idx] = false; } // Add 'delta' to range [l, r]. void add_range(int l, int r, int delta, int n) { int start_blk = l / block_size, end_blk = r / block_size; if (start_blk == end_blk) { for (int i = l; i <= min(r, (start_blk + 1) * block_size - 1); ++i) a[i] += delta; // Recalculate new maximum after modification. block_max[start_blk] = 0; for (int i = start_blk * block_size; i < ((start_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[start_blk] = max((long long)a[i], block_max[start_blk]); } else { // Process first incomplete block separately. for (int i = l; i < (start_blk + 1) * block_size; ++i) a[i] += delta; block_max[start_blk] = 0; for (int i = start_blk * block_size; i < ((start_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[start_blk] = max((long long)a[i], block_max[start_blk]); // Fully covered blocks can simply apply tag updates. for (int b = start_blk + 1; b < end_blk; ++b){ block_max[b] += delta * block_size; lazy_flag[b] |= true; } // Handle last partial block similarly as above case. for (int i = end_blk * block_size; i <= r; ++i) a[i] += delta; block_max[end_blk] = 0; for (int i = end_blk * block_size; i < ((end_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[end_blk] = max((long long)a[i], block_max[end_blk]); } } ``` #### 4. 查询最值功能 最后一步是在给定区间内查找最大的数值。这同样依赖于之前构建好的块级信息来进行加速检索。 ```cpp long long query_max(int l, int r) { int start_blk = l / block_size, end_blk = r / block_size; long long result = LLONG_MIN; if (start_blk == end_blk) { for (int i = l; i <= r; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); } else { for (int i = l; i < (start_blk + 1) * block_size; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); for (int b = start_blk + 1; b < end_blk; ++b) result = max(result, block_max[b]); for (int i = end_blk * block_size; i <= r; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); } return result; } ``` 通过以上步骤即可有效应对数列分块相关的题目需求。 ---
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