数论整理

人总要活成自己不喜欢的样子,然后我有一天也要学数论了,虽然也算不上学习。
线筛

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数 
int p[N], tot;//p[N]用来存质数 
void init(){
    for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数 
    for(int i = 2; i < N; i++){
        if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来 
        for(int j = 0; j < tot && i * p[j] < N; j++){
            prime[i * p[j]] = false;
            if(i % p[j] == 0) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去 
        }
    }    
}
int main(){
    init();
}

线筛原理:对于i,我们只删除i的整倍数中,最大质因子比i里面最小的质因子还小的数,就相当于我们保证每个数被访问的时候的最小质因子是prime里的数,这样的话,就不会重复了。

欧拉函数,
欧拉函数是用来求一个数p在1到p里面有多少个数与它互质,
那么可以用一个数的质因子去实现,用这些质因子组合起来的数就是和p不互质的数,减去这些就行了,
那么怎么找出这些数呢,这个时候可以用到一个东西叫做莫比乌斯系数,但是很慢,然后就用一个很好的容斥
p*(1-1/p1)*(1-1/p2),,,(1-1/pk) ,p1,p2,,,pk为p的质因子,
然后根据上面这个式子,可以得到一个结论
对于一个质数p,
phi(p*i) = (p-1)*phi(i){i%p != 0};
phi(p*i) = p*phi(i){i%p == 0};
证明的话,如果i%p == 0;那么p的所有因子都是i的因子,那么用p*i*(1-1/p1)(1-1/p2),,这个式子算p*i的质因子的时候,可以发现后面的时一样的,所有直接乘以p就好了,如果i%p!=0,那么 p*i,,,后面的要比i的多一个1-1/p,前面多了一个p,所以就是多了一个(p-1);然后用埃塞相似的方法,就可以得到o(n)的算法了,
某学长的博客 https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6+10 ;
int phi[N], prime[N];
int tot;//tot计数,表示prime[N]中有多少质数 
void Euler(){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(!phi[i]){
            phi[i] = i-1;
            prime[tot ++] = i;
        }
        for(int j = 0; j < tot && 1ll*i*prime[j] < N; j ++){
            if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
            else{
                phi[i * prime[j] ] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}

int main(){
    Euler();
}

欧拉定理,如果gcd(a,p) == 1,那么a^(phi(p))%p =1;

莫比乌斯系数,
mu[i] = 1{i==1}
mu[i] = -1{i有奇数个质因子,且没有重复的)
mu[i] = 1{i有偶数个质因子,且没有重复的)
mu[i] = 0{i有重复的质因子};
用线筛的思想也可以处理莫比乌斯系数;


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+7;
int mu[N];
int cnt = 0,tot = 0;
bool vis[N];
int prime[N];
void init(){
    mu[1]=1;
    for(int i = 2;i < N;i ++){
        if(!vis[i])prime[tot++]=i,mu[i]=-1;
        /*for(int j=1;j<=cnt;j++){
            int t=i*prime[j];
            if(t>=N)break;
            mark[t]=1;
            if(i%prime[j]==0){mu[t]=0;break;}
            else mu[t]=-mu[i];
        }*/
        //cout << i << ' '<<tot<<' '<<prime[0] <<  endl;
        for(int j = 0;j < tot && 1LL*prime[j]*i < N;j ++){
            vis[i*prime[j]] = true;
            if(i%prime[j] == 0) {mu[i*prime[j]] = 0;break;}
            else mu[i*prime[j]] =-mu[i];
        }
    }
}

int main(){
    init();
    return 0;
}

莫比乌斯系数的用处:求1到n之间有多少个数和1互质,就是用莫比乌斯系数。
比如果我们想知到1到n之间有多少个数和1互质,那么我们可以知道1到n有多少个数是1,2,3,,,n,的倍数,
那么我们就可以用这些数和莫比乌斯系数做容斥找出有多少个数和1互质,并且用这个算出来有多个数和x互质,
比如,其实与x互质的个数就是n/x个数里面有多少个数与1互质,这看似没有什么用,但是如果你想知道x(1-n),y(1-m),有n*m种组合,如果想知道这里面有多少个组合的gcd分别有多少种 ,那么就可以用莫比乌斯系数了,因为我们可以知道在这些组合中有多少个组和的gcd是1某个数的多少,假如我们要求gcd为x的数量,那么我们可以知道gcd为x的倍数有
n/x*m/x个,gcd为2*x的倍数的个数有n/(2*x)*m/(2*x)个,然后这个就转化成上一个问题了,然后就可以用莫比乌斯系数了,
复杂度是nlogn。
然后还有一种做法也是nlogn的,就是用cnt[i]代表gcd为i的种类数,那么如果我们从min(n,m)枚举到1,对于x,我们可以知道gcd为x的倍数的个数是n/x*m/x,然后减去gcd为2*x,3*x,,然后剩下的就是gcd为x的个数了,复杂度也是nlogn。
hdu 6390 两种写法
https://paste.ubuntu.com/p/HKyPhKpwzx/
https://paste.ubuntu.com/p/NCp9GG39p9/

fft :大佬写的理解,有一点是idft的时候,乘的是逆矩阵
https://blog.youkuaiyun.com/leo_h1104/article/details/51615710
中国剩余定理:https://blog.youkuaiyun.com/tick_tock97/article/details/71313058

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/d9ef5828b597 在本文中,我们将探讨如何通过 Vue.js 实现一个带有动画效果的“回到顶部”功能。Vue.js 是一款用于构建用户界面的流行 JavaScript 框架,其组件化和响应式设计让实现这种交互功能变得十分便捷。 首先,我们来分析 HTML 代码。在这个示例中,存在一个 ID 为 back-to-top 的 div 元素,其中包含两个 span 标签,分别显示“回到”和“顶部”文字。该 div 元素绑定了 Vue.js 的 @click 事件处理器 backToTop,用于处理点击事件,同时还绑定了 v-show 指令来控制按钮的显示与隐藏。v-cloak 指令的作用是在 Vue 实例渲染完成之前隐藏该元素,避免出现闪烁现象。 CSS 部分(backTop.css)主要负责样式设计。它首先清除了一些默认的边距和填充,对 html 和 body 进行了全屏布局,并设置了相对定位。.back-to-top 类则定义了“回到顶部”按钮的样式,包括其位置、圆角、阴影、填充以及悬停时背景颜色的变化。此外,与 v-cloak 相关的 CSS 确保在 Vue 实例加载过程中隐藏该元素。每个 .page 类代表一个页面,每个页面的高度设置为 400px,用于模拟多页面的滚动效果。 接下来是 JavaScript 部分(backTop.js)。在这里,我们创建了一个 Vue 实例。实例的 el 属性指定 Vue 将挂载到的 DOM 元素(#back-to-top)。data 对象中包含三个属性:backTopShow 用于控制按钮的显示状态;backTopAllow 用于防止用户快速连续点击;backSeconds 定义了回到顶部所需的时间;showPx 则规定了滚动多少像素后显示“回到顶部”按钮。 在 V
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