数论知识整理

逆元：

又称数论倒数，实质为倒数的扩展。

对于取mod，我们知道：
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p——(a - b) % p = (a%p - b%p + p) %p 防止出现负数
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p

但是对于除法类似的规则并不适用（可以自行举例验证）。
那么我们该如何对存在除法操作的算式取mod呢？
这时就需要逆元了。

定义：如果 ax = 1（mod p），那么称a和x互为mod c意义下的逆元。
当且仅当gcd（a，p）==1即a，p互质时，
对于一个数a的逆元，我们用inv(a)表示
这样对于(a / b) % p = (a * inv(a) ) % p = (a % p * inv(a) % p) % p、

求解逆元的方法：
费马小定理求逆元：只适用于模数为质数，且模数与欲求逆元的数互质。
详解：http://blog.youkuaiyun.com/qq_36693533/article/details/78412892

代码

ll powr(ll a,ll b)
{
  if(!b)
  return 1;
  ll temp=powr(a,b>>1);
  temp=temp*temp%mod;
  if(b&1) 
  temp=temp*a%mod;
  return temp%mod;
}

inv[i]=powr(i,mod-2);

扩展欧几里得求逆元：只适用于模数与欲求逆元数互质的情况，但对模数是否为质数没有要求。详解见下方扩展欧几里得内容。

代码

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return d;
}

exgcd(i,p,x,y);
inv[i]=x;

欧拉定理求逆元…只适用于模数与欲求逆元数互质的情况，但对模数是否为质数没有要求…但我不太会。

注意，以上三种求逆元的方式都一个共同的前提——模数与欲求逆元数互质，这也逆元存在的前提。那么对于模数与欲求数不互质的情况呢？一种方法是递推求，这个时候求的东西就不再是逆元了，将在下方介绍。
还有一种方法是用除法取模的公式….通过公式的转化直接避免除法取模。

公式使用条件：b|a即b整除a



证明：
（a/b）mod m = ans ；

a/b = ans + k * m ；

a = ans * b + k * m * b ；

a mod ( bm ) = ans * b ；

a mod ( bm ) / b = ans ；

递推求1-n在模p（p>n且p为奇质数）意义下的逆元：
inv[i] = （p - p/i）* inv[p % i] % p
另外有结论：1-p在mod p意义下的所有逆元对应1-p-1中的所有数。例如当p=7时，1-6的逆元为1 , 4 , 5 , 2 , 3 , 6，对应1-6中的数。

代码

inv[1]=1;  
for(int i=2;i<=n;++i)  
inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;  

最大公因数gcd和最小公倍数lcm：

代码

ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll lcm(ll a,ll b)
{
    //return a