本文介绍了斐波那契数列及其快速幂计算第n个值的方法，通过数学推导和分治策略，展示了如何在O(logn)的时间复杂度内求解斐波那契数，并提供了Python代码示例。
1. 斐波那契数列
斐波那契数列的表达式为： f ( n + 1 ) = f ( n ) + f ( n − 1 ) , n ≥ 0 f(n + 1) = f(n) + f(n-1), n \ge 0 f(n+1)=f(n)+f(n−1),n≥0，其中 f ( n ) f(n) f(n) 为 数列中第 n n n个数， f ( 1 ) = 1 , f ( 0 ) = 1 f(1) = 1, f(0) = 1 f(1)=1,f(0)=1。
2. 斐波那契数列快速幂计算第 n n n个值
该方法基于以下定理， 设斐波那契数列第 n n n个数为 F n F_n Fn, 则有：
[ F n + 1 F n ] = [ 1 1 1 0 ] n [ F 1 F 0 ] \begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^{n} \begin{bmatrix}F_1\\ F_0\\ \end{bmatrix} [Fn+1Fn]=[1110]n[F1F0]
设: A n = [ 1 1 1 0 ] n A_n = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^{n} An=[1110]n
则我们可以对 A n A_n An进行分治方法计算，即计算
A n = A n 2 A n 2 = A n 4 A n 4 A n 4 A n 4 = . . . . = [ 1 1 1 0 ] n A_n = A_{\frac{n}{2}}A_{\frac{n}{2}} = A_{\frac{n}{4}}A_{\frac{n}{4}}A_{\frac{n}{4}}A_{\frac{n}{4}} = .... = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^{n} An=A2nA2n=A
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