迅雷2018校园招聘-数字组合问题

题目

给定整数n，取若干个1到n的整数可求和等于整数m，编程求出所有组合的个数。比如当n=6，m=8时，有四种组合：[2,6], [3,5], [1,2,5], [1,3,4]。限定n和m小于120

思路

首先，这道题想要通过暴力搜索是无法实现的，那么只能找规律。
根据题意找规律，构建如图所示的表。要求$f(n,m)$的值
首先处理边界问题：第一行也就是$f(1,1)=1$,其他$f(1,m)=0$;
第一列，$f(n,1)=1$;

分三种情况来讨论：（横纵坐标分别用$i,j$表示）

第一种，当$i$=$j$时， 首先最直接的就是直接取$i$就是一种组合方式，而除此之外$i$不存在其他组合情况能够使得和为$j$。因此，我们不妨把$i$舍去，退一步，我们关心$f(i-1,j)$的值，只要在这个值的基础上加上一就是$f(i,j)$的值了。因此，当$i$=$j$时，$f(i,j)=f(i-1,j)+1$；
第二种，当$i$>$j$时，这种情况也很简单，由于$i$大于$j$的部分都不能贡献组合次数，有和没有都是一样的，因此$f(i,j)=f(i-1,j)$；
第三种，当$i$<$j$时，这是稍微复杂一点。这时$i$的引入是会在$f(i-1,j)$的基础上改变组合次数的。至于到底会引入多少个次数，其实就是确定前面的$i-1$个数能够有多少中可能可以组合成$j-i$。因此这一步的递推$f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-i)$；

（图来源于牛客网）

代码实现

#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
 
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<vector<int>> seq(n+1, vector<int>(m+1,0));
    for(int i=1;i<n+1;i++)
        seq[i][1]=1;
    for(int i=2;i<n+1;i++)
    {
        for(int j=2;j<m+1;j++)
        {
            if(i==j)
                seq[i][j]=1+seq[i-1][j];
            else if(i<j)
                seq[i][j]=seq[i-1][j-i]+seq[i-1][j];
            else
                seq[i][j] = seq[i-1][j];
        }
    }
    cout<<seq[n][m];
    return 0;
}

上述代码可以进一步优化，不必要求出所有的位置的值，可以使用方向递推的方式，只计算需要的位置即可。