回文串算法 Longest Palindromic Substring leetcode

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

Example:

Input: "babad"

Output: "bab"

Note: "aba" is also a valid answer.

Example:

Input: "cbbd"

Output: "bb"

1.中心扩展法 O(N*N)

需要考虑回文串为奇数和偶数两种情况

public class Solution {
private int lo, maxLen;

public String longestPalindrome(String s) {
	int len = s.length();
	if (len < 2)
		return s;
	
    for (int i = 0; i < len-1; i++) {
     	extendPalindrome(s, i, i);  //assume odd length, try to extend Palindrome as possible
     	extendPalindrome(s, i, i+1); //assume even length.
    }
    return s.substring(lo, lo + maxLen);
}

private void extendPalindrome(String s, int j, int k) {
	while (j >= 0 && k < s.length() && s.charAt(j) == s.charAt(k)) {
		j--;
		k++;
	}
	if (maxLen < k - j - 1) {
		lo = j + 1;
		maxLen = k - j - 1;
	}
}}

2. Manacher

首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#（注意，下面的代码是用C语言写就，由于C语言规范还要求字符串末尾有一个'\0'所以正好OK，但其他语言可能会导致越界）。

下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中 id 为已知的 {右边界最大} 的回文子串的中心，mx则为id+P[id]，也就是这个子串的右边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id))
if (mx - i > P[j]) 
    P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。

当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。


当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。


对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

于是代码如下：

//输入，并处理得到字符串s
int p[1000], mx = 0, id = 0;
memset(p, 0,  sizeof(p));
for (i = 1; s[i] != '\0'; i++) {
    p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
     while (s[i + p[i]] == s[i - p[i]]) p[i]++;
     if (i + p[i] > mx) {
        mx = i + p[i];
        id = i;
    }
}
//找出p[i]中最大的

OVER.

package leetcode;


public class Solution {

    public String longestPalindrome(String str) {
    	 String s = "$#";//进行串封装，便于统一串长度的奇偶性  
         for (int i = 0; i < str.length(); i++)  
             s += str.charAt(i) + "#";  
   
         int max = 0;//记录P数组的最大值。PS：p[i]-1就是原串中    当前位置字母为中心的回文串大小   
         int id = 0;//当前查找位置之前，最大回文串的中心的下标
         int maxIndex=0;
         int[] p = new int[s.length()];  
   
         for (int i = 0; i < s.length(); i++) {//遍历封装串  
   
             int maxLen = p[id] + id;//当前查找位置之前，已知能影响最右边的串  
               
             if (maxLen > i)//当前遍历元素在之前最大回文串的影响范围之内  
                 p[i] = Math.min(p[2 * id - i], maxLen - i);  
   
             while (i + p[i] < s.length() && i - p[i] >= 0//当前遍历元素在最低长度之上，两边扩张对比  
                     && s.charAt(i - p[i]) == s.charAt(i + p[i]))  
                 ++p[i];  
   
             if (maxLen < i + p[i])//更新已知最大串信息  
                 id = i;  
   
             if (max < p[i]){//保留最大值信息  
                 max = p[i]; 
                 maxIndex=i;
             }
         }
        StringBuilder result=new StringBuilder();
        for(int i=maxIndex-max+2;i<maxIndex+max-1;i+=2){
        	result.append(s.charAt(i));
        }
        return result.toString();
    }
	

    public static void main(String[]args){
    	Solution s=new Solution();
    	System.out.print(s.longestPalindrome("babad"));
    }
}