DP—最长不下降子序列

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=100;
int A[N],dp[N];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>A[i];
	}
	
	int ans=-1;//记录最大的dp[i]
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i]=1;//边界初始条件
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			
			//更新 
			if(A[i]>=A[j]&&(dp[j]+1>dp[i]))
			{
				dp[i]=dp[j]+1;
			}
		}
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	cout<<"最长不下降子序列为:"<<ans;
	return 0; 
}

 

### 关于蓝桥杯竞赛中最长下降子序列的解法 最长下降子序列问题是经典的动态规划问题之一,在蓝桥杯竞赛中有较多涉及。以下是针对该问题的具体解题思路和实现方法。 #### 1. 动态规划的核心思想 对于最长下降子序列(Longest Non-decreasing Subsequence, LNDS),可以通过定义一个数组 `dp[]` 来记录以每个位置结尾的最长下降子序列长度。设输入序列为 `arr[n]`,则状态转移方程为: \[ dp[i] = \max(dp[j]) + 1 \quad (0 \leq j < i \text{ and } arr[j] \leq arr[i]) \] 其中 \( dp[i] \) 表示以第 \(i\) 个元素结尾的最长下降子序列长度[^2]。 最终的结果即为整个数组中的最大值 \( \max(dp[]) \)[^2]。 --- #### 2. 时间复杂度分析 朴素的动态规划解决方案的时间复杂度为 \(O(n^2)\),因为需要两层嵌套循环来计算每一个 \(dp[i]\) 的值。然而,通过引入二分查找技术,可以将时间复杂度降低到 \(O(n\log n)\)[^2]。 改进后的核心思想是维护一个单调递增的辅助数组 `tail[]`,并利用二分查找更新这个数组的内容。具体过程如下: - 初始化 `tail[0] = arr[0]`; - 对于后续的每个元素 \(arr[i]\),如果它大于当前 `tail` 数组的最大值,则将其追加至 `tail` 后面;否则,找到第一个比 \(arr[i]\) 大的位置,并替换掉那个位置上的值。 这种方法仅能够高效解决最长下降子序列问题,还适用于其他类似的变种问题。 --- #### 3. 实现代码示例 下面是基于 C++ 和 Python 的两种实现方式: ##### **C++ 实现** ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int computeLNDS(vector<int> &arr){ vector<int> tail; for(auto num : arr){ auto it = lower_bound(tail.begin(), tail.end(), num); if(it == tail.end()) { tail.push_back(num); // 如果找到合适的插入点,则扩展尾部 } else{ *it = num; // 替换已有的较大值 } } return tail.size(); // 返回结果为 tail 的大小 } int main(){ int n; cin >> n; vector<int> arr(n); for(int &num : arr) cin >> num; cout << computeLNDS(arr) << endl; } ``` ##### **Python 实现** ```python from bisect import bisect_left def compute_LNDS(arr): tail = [] for num in arr: idx = bisect_left(tail, num) if idx == len(tail): tail.append(num) # 扩展尾部 else: tail[idx] = num # 替换已有较大的值 return len(tail) if __name__ == "__main__": n = int(input()) arr = list(map(int, input().split())) print(compute_LNDS(arr)) ``` 以上代码均采用了 \(O(n\log n)\) 的优化策略。 --- #### 4. 进一步思考与优化建议 尽管上述方法已经非常高效,但在某些特殊场景下仍需注意以下几点: - 当数据规模特别大时,应考虑内存占用以及 I/O 效率的影响。 - 若题目要输出具体的子序列而非仅限长度,则需要额外保存路径信息以便回溯重建结果。 ---
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