Transformer详解：从放弃到入门（二）

多头注意力

  上篇文章中我们了解了词编码和位置编码，接下来我们介绍Transformer中的核心模块——多头注意力。

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自注意力

  首先回顾下注意力机制，注意力机制允许模型为序列中不同的元素分配不同的权重。而自注意力中的"自"表示输入序列中的输入相互之间的注意力，即通过某种方式计算输入序列每个位置相互之间的相关性。具体的推导可以看这篇文章。
  对于Transformer编码器来说，给定一个输入序列$(x_1,...,x_n)$，这里假设是输入序列中第i个位置所对应的词嵌入。自注意力产生了一个新的相同长度的嵌入$(y_1,...,y_2)$，其中每个$y_i$是所有$x_j$的加权和(包括本身)：$$y_i=\sum _j{\alpha }_{ij}{x}_j$$  其中，${\alpha }_{ij}$是注意力权重，有${\sum }_j{\alpha }_{ij}=1$。
  计算注意力的方式有很多种，最高效的是点积注意力，即两个输入之间做点积。点积的结果是一个实数范围内的标量，结果越大代表两个向量越相似。这是计算两个输入之间的注意力分数，将某个token与所有的输入进行计算，就可以得到n个注意力分数，经过Softmax归一化就可以得到权重向量$\alpha$，其中${\alpha }_{ij}$表示两个输入i和j之间的相关度(权重系数)：$${\alpha }_{ij}=softmax(score(x_i,x_j))$$  得到了这些权重之后，就可以按照上面的公式对所有输入加权得到$y_i$。
  Transformer中的注意力会更加复杂一点，主要体现在两点：Q,K,V和缩放点积机制和多头注意力。

缩放点积注意力

  Transformer的多头注意力模块有三个输入：

• Query: 与所有的输入进行比较，为当前关注的点。
• Key：作为与Query进行比较的角色，用于计算和Query之间的相关性。
• Value：用于计算当前注意力关注点的输出，根据注意力权重对不同的Value进行加权和。
    这三个输入都是由原始输入映射而来的，为了生成这三种不同的角色，Transformer分别引入了三个权重矩阵$W^Q,W^K,W^V$，分别将每个输入投影到不同角色query,key和value表示：$$q=x{W}^Q;k=x{W}^K;v=x{W}^V$$  Query和Key是用于比较的，Value是用于提取特征的。通过将输入映射到不同的角色，使模型具有更强的学习能力。看到一个比较直观的解释：如果把注意力过程类比成搜索的话，那么假设在百度中输入"自然语言处理是什么"，那么Query就是这个搜索的语句；Key相当于检索到的网页的标题；Value就是网页的内容。  现在我们用Q和K矩阵计算亲和度矩阵sim matrix,矩阵中第i,j个位置，即指原序列第i个token和第j个token之间的亲和度(点积结果):$$score(q_i,k_j)=q_i\cdot k_j$$  点积的结果是一个标量，但这个结果可能非常大(不管是正的还是负的)，这会使得softmax函数值进入一个导数非常小的区域。需要对这个注意力得分进行缩放，缩放使得分布更加平滑。一种缩放的方法是把点积结果除以一个和嵌入大小相关的因子(factor)。注意这是在传递给softmax之前进行的。Transformer的做法是除以query和key向量维度的平方根：$$score(q_i,k_j)=\frac{q_i\cdot k_j}{\sqrt{d}}$$  这是计算具体两个token向量的亲和度，我们可以用矩阵相乘实现批量操作，考虑一下维度的问题：包含batch大小和序列长度，输入的完整维度是(batch_size, seq_len, embed_dim)。我们得到query,key和value也是相同维度的，只是经过了不同的线性变换。那么亲和度矩阵的计算方法为：$$SelfAttention(Q,K,V)=softmax(\frac{Q{K}^T}{{\sqrt{d}}_k})V$$

多头注意力

  上面介绍的缩放点积注意力把原始的x映射到不同的空间后，去做注意力。每次映射相当于是在特定空间中去建模特定的语义交互关系，类似卷积中的多通道可以得到多个特征图，那么多个注意力可以得到多个不同方面的语义交互关系。可以让模型更好地关注到不同位置的信息，捕捉到输入序列中不同依赖关系和语义信息。有助于处理长序列、解决语义消歧、句子表示等任务，提高模型的建模能力。Transformer中使用多头注意力实现这一点。
  对于多头注意力中的每个头i，都有自己不同的query,key和value矩阵，假设Q,K矩阵的维度是$d_k$，V矩阵维度是$d_v$，那么每个头的权重矩阵是$W_i^Q\in R^{d\times d_k},W_i^K\in R^{d\times d_k},,W_i^K\in R^{d\times d_v}$，将他们与reshape后的输入相乘，得到的每个头的Q,K,V矩阵维度应该是$Q\in R^{sqlen\ast d_k},K\in R^{sqlen\ast d_k},V\in R^{sqlen\ast d_v}$其中，sqlen是序列长度，$d_k$是每个头的维度。
  得到这些多头注意力的组合以后，再把它们拼接起来，然后通过一个线性变化映射回原来的维度，保证输入和输出的维度一致：$$MultiHeadAttention(X)=concat(hea{d}_1,...,hea{d}_h)W^o$$$$hea{d}_i=SelfAttention(Q,K,V)$$$$Q=X{W}_i^Q;K=X{W}_I^K;V=X{W}_I^V$$
  下面是一个三个头的注意力示意图，在原论文中，d = 512，有h = 8个注意力头。由于每个头维度的减少，总的计算量和正常维度的单头注意力一样(8 × 64 = 512)。  给出一个pytorch实现的例子，在forward方法中，首先利用三个线性变换分别计算query,key,value矩阵。接着拆分成多个头，传给attention方法计算多头注意力，然后合并多头注意力的结果。最后经过一个用作拼接的线性层。
  在下一篇文章中，我会继续讲解Transformer中剩下的其他组件。

class MultiHeadAttention(nn.Module):
    def __init__(
        self,
        d_model: int = 512,
        n_heads: int = 8,
        dropout: float = 0.1,
    ) -> None:
        super().__init__()
        assert d_model % n_heads == 0
        self.d_model = d_model
        self.n_heads = n_heads
        self.d_key = d_model // n_heads  # dimension of every head

        self.q = nn.Linear(d_model, d_model)  # query matrix
        self.k = nn.Linear(d_model, d_model)  # key matrix
        self.v = nn.Linear(d_model, d_model)  # value matrix
        self.concat = nn.Linear(d_model, d_model)  # output

        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    def split_heads(self, x: Tensor, is_key: bool = False) -> Tensor:
        batch_size = x.size(0)
        # x (batch_size, seq_len, n_heads, d_key)
        x = x.view(batch_size, -1, self.n_heads, self.d_key)
        if is_key:
            # (batch_size, n_heads, d_key, seq_len)
            return x.permute(0, 2, 3, 1)
        # (batch_size, n_heads, seq_len, d_key)
        return x.transpose(1, 2)

    def merge_heads(self, x: Tensor) -> Tensor:
        x = x.transpose(1, 2).contiguous().view(x.size(0), -1, self.d_model)
        return x

    def attenion(
        self,
        query: Tensor,
        key: Tensor,
        value: Tensor,
        mask: Tensor = None,
        keep_attentions: bool = False,
    ):
        scores = torch.matmul(query, key) / math.sqrt(self.d_key)

        if mask is not None:
            scores = scores.masked_fill(mask == 0, -1e9)

        # weights (batch_size, n_heads, q_length, k_length)
        weights = self.dropout(torch.softmax(scores, dim=-1))
        # (batch_size, n_heads, q_length, k_length) x (batch_size, n_heads, v_length, d_key) -> (batch_size, n_heads, q_length, d_key)
        # assert k_length == v_length
        # attn_output (batch_size, n_heads, q_length, d_key)
        attn_output = torch.matmul(weights, value)

        if keep_attentions:
            self.weights = weights
        else:
            del weights

        return attn_output

    def forward(
        self,
        query: Tensor,
        key: Tensor,
        value: Tensor,
        mask: Tensor = None,
        keep_attentions: bool = False,
    ) -> Tuple[Tensor, Tensor]:
        """

        Args:
            query (Tensor): (batch_size, q_length, d_model)
            key (Tensor): (batch_size, k_length, d_model)
            value (Tensor): (batch_size, v_length, d_model)
            mask (Tensor, optional): mask for padding or decoder. Defaults to None.
            keep_attentions (bool): whether keep attention weigths or not. Defaults to False.

        Returns:
            output (Tensor): (batch_size, q_length, d_model) attention output
        """
        query, key, value = self.q(query), self.k(key), self.v(value)

        query, key, value = (
            self.split_heads(query),
            self.split_heads(key, is_key=True),
            self.split_heads(value),
        )

        attn_output = self.attenion(query, key, value, mask, keep_attentions)

        del query
        del key
        del value

        # Concat
        concat_output = self.merge_heads(attn_output)
        # the final liear
        # output (batch_size, q_length, d_model)
        output = self.concat(concat_output)

        return output